حد از نوع یک به توان بینهایت (1^∞ Type Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد از نوع یک به توان بینهایت (1^∞ Type Limit) :

حد از نوع یک به توان بینهایت (1^∞ Type Limit) یکی از معروف ترین اشکال مبهم است که منجر به تعریف عدد e و بسیاری از حدهای مهم دیگر می شود. این حالت وقتی است که پایه به ۱ و توان به بی نهایت میل می کند.

روش استاندارد برای محاسبه، استفاده از لگاریتم و تبدیل به فرم 0/0 یا ∞/∞ است.

مثال کلاسیک:

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

به طور کلی، اگر

\[ \lim f(x) = 1 \]

و

\[ \lim g(x) = \infty \]

، آن گاه:

\[ \lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x) (f(x)-1)} \]

به شرطی که حد

\[ g(x)(f(x)-1) \]

وجود داشته باشد.

مثال دیگر:

\[ \lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x} \]

. ابتدا

\[ \ln L = \lim \frac{\ln(1+\sin x)}{x} \]

. با استفاده از هم ارزی

\[ \ln(1+u) \sim u \]

و

\[ \sin x \sim x \]

داریم

\[ \ln L = 1 \]

، پس

\[ L = e \]

.

این نوع حد در محاسبه ی بهره ی مرکب، رشد جمعیت و بسیاری پدیده های طبیعی ظاهر می شود.