حد توابع وارون (Limit of Inverse Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع وارون (Limit of Inverse Functions) :

حد توابع وارون (Limit of Inverse Functions) به رابطه ی بین حد یک تابع و حد تابع وارون آن می پردازد. اگر تابع

\[ f \]

در همسایگی نقطه

\[ a \]

یک به یک و پیوسته باشد و

\[ f(a) = L \]

، آن گاه برای تابع وارون

\[ f^{-1} \]

داریم:

\[ \lim_{y \to L} f^{-1}(y) = a \]

این نتیجه از پیوستگی تابع وارون ناشی می شود. به طور کلی، اگر

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

و

\[ f \]

در همسایگی

\[ a \]

اکیدا یکنوا باشد، آن گاه

\[ \lim_{y \to L} f^{-1}(y) = a \]

.

مثال: تابع

\[ f(x) = e^x \]

با

\[ f(0)=1 \]

. می دانیم

\[ \lim_{x \to 0} e^x = 1 \]

. بنابراین برای تابع وارون

\[ \ln y \]

داریم

\[ \lim_{y \to 1} \ln y = 0 \]

.

مثال دیگر:

\[ \lim_{x \to \pi/2} \sin x = 1 \]

و

\[ \sin \]

در همسایگی

\[ \pi/2 \]

یکنواست، بنابراین

\[ \lim_{y \to 1} \arcsin y = \pi/2 \]

.

این خاصیت در حل معادلات و تبدیل متغیرها در انتگرال گیری مفید است.