حد تعریف انتگرال (Limit Definition of Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد تعریف انتگرال (Limit Definition of Integral) :
حد تعریف انتگرال (Limit Definition of Integral) بیان می کند که انتگرال معین یک تابع، حد مجموع ریمان آن تابع وقتی افراز بازه ریزتر می شود، است. این تعریف پایه ی انتگرال گیری ریمان است.
اگر
\[ f \]روی بازه
\[ [a,b] \]تعریف شده باشد، یک افراز از این بازه به زیربازه های
\[ [x_{i-1}, x_i] \]با طول
\[ \Delta x_i \]و انتخاب نقاط نمونه گیری
\[ x_i^* \]در هر زیربازه، مجموع ریمان به صورت زیر است:
\[ \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i \]حال اگر
\[ \|P\| \]را قطر بزرگترین زیربازه تعریف کنیم، انتگرال معین
\[ \int_a^b f(x) dx \]برابر حد مجموع ریمان وقتی
\[ \|P\| \to 0 \]است (در صورت وجود):
\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i \]این حد نباید به انتخاب افراز و نقاط نمونه گیری وابسته باشد. توابعی که این حد برای آن ها وجود دارد، انتگرال پذیر ریمانی نامیده می شوند.
این تعریف در روش های عددی انتگرال گیری (مانند روش مستطیلی، ذوزنقه ای) و اثبات قضایای اساسی حسابان (مانند قضیه ی اساسی اول) به کار می رود.
