حد نسبت تفاضلی (Limit of Difference Quotient)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد نسبت تفاضلی (Limit of Difference Quotient) :
حد نسبت تفاضلی (Limit of Difference Quotient) قلب تعریف مشتق در حساب دیفرانسیل است. این حد بیانگر نرخ تغییرات آنی یک تابع در یک نقطه است.
برای تابع
\[ f \]در نقطه
\[ a \]، نسبت تفاضلی به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \frac{f(a+h) - f(a)}{h}, \quad h \neq 0 \]حد این عبارت وقتی
\[ h \]به صفر میل می کند (در صورت وجود) مشتق تابع در نقطه
\[ a \]نامیده می شود و با
\[ f'(a) \]نشان داده می شود.
از نظر هندسی، این حد برابر شیب خط مماس بر نمودار تابع در نقطه
\[ (a, f(a)) \]است. از نظر فیزیکی، اگر
\[ f \]مکان متحرک باشد، این حد سرعت لحظه ای را نشان می دهد.
برای مثال، برای تابع
\[ f(x) = x^2 \]در نقطه
\[ a=1 \]، نسبت تفاضلی
\[ \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1+2h+h^2-1}{h} = 2 + h \]است که حد آن وقتی
\[ h \to 0 \]برابر ۲ است. بنابراین
\[ f'(1)=2 \].
حد نسبت تفاضلی مبنای محاسبات عددی مشتق و همچنین تعریف مشتق های جزئی و مشتق های جهتی در فضاهای با ابعاد بالاتر است.
