حد مشتق (Limit of a Derivative)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد مشتق (Limit of a Derivative) :
حد مشتق (Limit of a Derivative) به دو مفهوم اشاره دارد: یکی حد نسبت تفاضلی که خود تعریف مشتق است، و دیگری حد یک دنباله از مشتقات یا حد مشتق یک تابع در یک نقطه.
اولا، تعریف مشتق خود یک حد است:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]. این حد نشان می دهد که مشتق، نرخ تغییر لحظه ای تابع است.
ثانیا، گاهی می خواهیم بدانیم اگر دنباله ای از توابع
\[ f_n \]به
\[ f \]همگرا شود، آیا مشتقات
\[ f_n' \]به
\[ f' \]همگرا می شوند؟ این سؤال به همگرایی یکنواخت مشتقات مربوط می شود.
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]قضیه: اگر
\[ f_n \]یک دنباله از توابع مشتق پذیر روی بازه
\[ I \]باشد که به طور نقطه ای به
\[ f \]همگرا هستند و مشتقات
\[ f_n' \]به طور یکنواخت روی
\[ I \]به
\[ g \]همگرا شوند، آن گاه
\[ f \]مشتق پذیر است و
\[ f' = g \].
حد مشتق در فیزیک برای محاسبه ی سرعت و شتاب لحظه ای و در اقتصاد برای محاسبه ی هزینه ی نهایی استفاده می شود. همچنین در تحلیل عددی، خطای مشتق گیری عددی با حد مشتق مرتبط است.
