حد در آنالیز تابعی (Limit in Functional Analysis)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد در آنالیز تابعی (Limit in Functional Analysis) :

حد در آنالیز تابعی (Limit in Functional Analysis) به بررسی انواع همگرایی در فضاهای تابعی مانند فضاهای

\[ L^p \]

، فضاهای سوبولف و فضاهای عملگرها می پردازد. انواع مهم همگرایی در آنالیز تابعی عبارتند از: همگرایی قوی (در نرم)، همگرایی ضعیف و همگرایی ضعیف*.

همگرایی قوی:

\[ x_n \to x \]

اگر

\[ \|x_n - x\| \to 0 \]

.

همگرایی ضعیف:

\[ x_n \rightharpoonup x \]

اگر برای هر تابعک خطی پیوسته

\[ f \]

،

\[ f(x_n) \to f(x) \]

.

همگرایی ضعیف*: در فضای دوگان،

\[ f_n \stackrel{*}{\rightharpoonup} f \]

اگر برای هر

\[ x \]

،

\[ f_n(x) \to f(x) \]

.

\[ x_n \rightharpoonup x \iff \forall \phi \in X^*, \phi(x_n) \to \phi(x) \]

مثال: در فضای

\[ \ell^2 \]

، دنباله ی

\[ e_n \]

(بردارهای پایه) به صفر همگرای ضعیف است ولی قوی نیست.

این مفاهیم در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی و بهینه سازی کاربرد دارند.