حد در فضاهای نرم دار (Limit in Normed Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد در فضاهای نرم دار (Limit in Normed Spaces) :

فضاهای نرم دار (Normed Spaces) فضاهای برداری مجهز به یک نرم هستند که مفهوم طول را تعمیم می دهد. حد در این فضاها مشابه حد در فضاهای متریک است، با متر حاصل از نرم:

\[ d(x,y) = \|x - y\| \]

.

دنباله

\[ x_n \]

در فضای نرم دار

\[ X \]

به

\[ x \]

همگراست اگر

\[ \|x_n - x\| \to 0 \]

. برای تابع

\[ f: X \to Y \]

بین دو فضای نرم دار،

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

به این معناست که

\[ \|f(x) - L\|_Y \to 0 \]

وقتی

\[ \|x - a\|_X \to 0 \]

.

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \|x-a\|_X < \delta \implies \|f(x)-L\|_Y < \epsilon \]

مثال: در فضای

\[ C[0,1] \]

با نرم

\[ \|f\|_\infty = \sup |f(x)| \]

، همگرایی یکنواخت توابع همان همگرایی در این نرم است.

حد در فضاهای نرم دار در معادلات انتگرالی، روش های عددی و آنالیز تابعی برای بررسی همگرایی روش های تکراری استفاده می شود.