حد در فضاهای توپولوژیک (Limit in Topological Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد در فضاهای توپولوژیک (Limit in Topological Spaces) :

حد در فضاهای توپولوژیک (Limit in Topological Spaces) تعمیم یافته ترین مفهوم حد است. در اینجا به جای متریک، از مفهوم همسایگی استفاده می شود. برای تعریف حد تابع

\[ f: X \to Y \]

بین دو فضای توپولوژیک، به مفهوم همسایگی و شبکه (net) نیاز داریم.

یک شبکه (net) تعمیم دنباله به مجموعه های جهت دار است. می گوییم شبکه

\[ x_\lambda \]

به

\[ x \]

همگراست اگر برای هر همسایگی

\[ U \]

از

\[ x \]

،

\[ \lambda_0 \]

موجود باشد به طوریکه برای همه ی

\[ \lambda \ge \lambda_0 \]

،

\[ x_\lambda \in U \]

.

برای تابع

\[ f: X \to Y \]

، می گوییم

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

اگر برای هر همسایگی

\[ V \]

از

\[ L \]

، یک همسایگی

\[ U \]

از

\[ a \]

وجود داشته باشد به طوریکه

\[ f(U \setminus \{a\}) \subseteq V \]

.

\[ \forall V \in \mathcal{N}(L), \exists U \in \mathcal{N}(a) : f(U \setminus \{a\}) \subset V \]

در فضاهای Hausdorff، حد اگر وجود داشته باشد یکتاست. این مفهوم پایه ی آنالیز روی خمینه ها و توپولوژی جبری است.