حد در فضاهای متریک (Limit in Metric Spaces)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد در فضاهای متریک (Limit in Metric Spaces) :

حد در فضاهای متریک (Limit in Metric Spaces) تعمیم حد در اعداد حقیقی به فضاهای مجهز به یک تابع فاصله (متریک) است. فرض کنید

\[ (X, d) \]

یک فضای متریک باشد. دنباله

\[ x_n \in X \]

به

\[ x \in X \]

همگراست اگر

\[ d(x_n, x) \to 0 \]

.

تعریف حد تابع در فضاهای متریک: فرض کنید

\[ f: X \to Y \]

که

\[ X \]

و

\[ Y \]

فضاهای متریک هستند. می گوییم

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

اگر برای هر

\[ \epsilon > 0 \]

،

\[ \delta > 0 \]

موجود باشد به طوریکه اگر

\[ 0 < d_X(x, a) < \delta \]

آن گاه

\[ d_Y(f(x), L) < \epsilon \]

.

\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < d_X(x,a) < \delta \implies d_Y(f(x),L) < \epsilon \]

برای مثال، در فضای

\[ \mathbb{R}^n \]

با متر اقلیدسی، حد تابع برداری به همین صورت تعریف می شود. همچنین می توان حد را در فضاهای توابع با مترهای مختلف (مثلا متر یکنواخت) بررسی کرد.

حد در فضاهای متریک پایه ی مفاهیمی مانند پیوستگی، مشتق در فضاهای باناخ و آنالیز تابعی است.