حد یکنواخت (Uniform Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد یکنواخت (Uniform Limit) :

حد یکنواخت (Uniform Limit) نوع قوی تری از همگرایی برای دنباله های توابع است. در همگرایی یکنواخت، سرعت همگرایی به تابع حدی برای تمام نقاط دامنه یکسان است، برخلاف همگرایی نقطه ای که می تواند در نقاط مختلف متفاوت باشد.

تعریف دقیق: دنباله ی توابع

\[ f_n: E \to \mathbb{R} \]

به تابع

\[ f: E \to \mathbb{R} \]

همگرای یکنواخت است اگر برای هر

\[ \epsilon > 0 \]

، یک

\[ N \]

(فقط وابسته به

\[ \epsilon \]

) وجود داشته باشد به طوریکه برای همه ی

\[ x \in E \]

و همه ی

\[ n \ge N \]

،

\[ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \]

.

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \right) = 0 \]

مثال:

\[ f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n} \]

روی

\[ \mathbb{R} \]

به طور یکنواخت به

\[ f(x)=0 \]

همگراست زیرا

\[ \sup |f_n(x) - 0| \le \frac{1}{n} \to 0 \]

.

خاصیت مهم: حد یکنواخت توابع پیوسته، پیوسته است. همچنین اگر

\[ f_n \]

یکنواخت به

\[ f \]

همگرا شود و هر

\[ f_n \]

انتگرال پذیر باشد، آن گاه

\[ f \]

انتگرال پذیر است و

\[ \int f_n \to \int f \]

.

همگرایی یکنواخت در آنالیز فوریه، معادلات دیفرانسیل و نظریه ی تقریب نقش اساسی دارد.