حد نقطه ای (Pointwise Limit)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد نقطه ای (Pointwise Limit) :
حد نقطه ای (Pointwise Limit) ساده ترین نوع حد برای دنباله ای از توابع است. در این نوع همگرایی، برای هر نقطه
\[ x \]از دامنه، مقدار
\[ f_n(x) \]به عنوان یک دنباله عددی به
\[ f(x) \]همگرا می شود.
تعریف: دنباله
\[ (f_n) \]از توابع روی مجموعه
\[ E \]به تابع
\[ f \]همگرای نقطه ای است اگر برای هر
\[ \epsilon > 0 \]و هر
\[ x \in E \]، عدد طبیعی
\[ N \](که ممکن است به
\[ x \]و
\[ \epsilon \]وابسته باشد) موجود باشد به طوریکه برای همه ی
\[ n \ge N \]،
\[ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \].
\[ \forall x \in E, \forall \epsilon > 0, \exists N_{x,\epsilon} : \forall n \ge N, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \]مثال کلاسیک:
\[ f_n(x) = x^n \]روی
\[ [0,1] \]. برای
\[ x \in [0,1) \]،
\[ \lim f_n(x) = 0 \]و برای
\[ x=1 \]،
\[ \lim f_n(1) = 1 \]. بنابراین حد نقطه ای تابع
\[ f \]با ناپیوستگی در
\[ x=1 \]است.
حد نقطه ای خواص توابع حدی را حفظ نمی کند: ممکن است هر
\[ f_n \]پیوسته باشد اما
\[ f \]ناپیوسته (مثال بالا). مشتق پذیری و انتگرال پذیری نیز معمولا تحت همگرایی نقطه ای حفظ نمی شوند. به همین دلیل، همگرایی یکنواخت قوی تر مطرح می شود.
با این حال، حد نقطه ای پایه ی بسیاری از قضایا مانند قضیه ی ایگوروف در نظریه ی اندازه است.
