حد دنباله ای از توابع (Limit of a Sequence of Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد دنباله ای از توابع (Limit of a Sequence of Functions) :

حد دنباله ای از توابع (Limit of a Sequence of Functions) به بررسی همگرایی یک دنباله از توابع

\[ f_n \]

به یک تابع حدی

\[ f \]

می پردازد. دو نوع مهم همگرایی، همگرایی نقطه ای و همگرایی یکنواخت هستند.

همگرایی نقطه ای:

\[ f_n \to f \]

نقطه ای روی مجموعه

\[ E \]

اگر برای هر

\[ x \in E \]

،

\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \]

.

همگرایی یکنواخت:

\[ f_n \to f \]

یکنواخت روی

\[ E \]

اگر

\[ \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \to 0 \]

.

\[ \lim_{n \to \infty} f_n = f \quad \text{(یکنواخت)} \iff \lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_\infty = 0 \]

برای مثال،

\[ f_n(x) = x^n \]

روی

\[ [0,1] \]

به تابع

\[ f(x) = 0 \]

برای

\[ 0 \le x < 1 \]

و

\[ f(1)=1 \]

همگرای نقطه ای است، اما همگرایی یکنواخت نیست.

حد دنباله ای از توابع در آنالیز فوریه، معادلات دیفرانسیل و نظریه ی تقریب اساسی است. قضیه های مهمی مانند قضیه ی وایرشتراس در مورد تقریب توابع پیوسته با چندجمله ای ها به این مفهوم وابسته هستند.