حد توابع تحلیلی (Limit of Analytic Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد توابع تحلیلی (Limit of Analytic Functions) :
توابع تحلیلی (Analytic Functions) توابعی هستند که در یک ناحیه قابل نمایش به صورت سری توانی هستند. حد توابع تحلیلی اهمیت ویژه ای دارد، زیرا اگر دنباله ای از توابع تحلیلی به طور یکنواخت روی یک مجموعه ی فشرده همگرا شود، تابع حد نیز تحلیلی خواهد بود.
قضیه ی مهمی در تحلیل مختلط می گوید: اگر
\[ f_n \]یک دنباله از توابع تحلیلی روی یک ناحیه
\[ U \]باشد که به طور یکنواخت روی هر زیرمجموعه ی فشرده از
\[ U \]به
\[ f \]همگرا شود، آن گاه
\[ f \]نیز روی
\[ U \]تحلیلی است و مشتقات
\[ f_n \]نیز به مشتقات
\[ f \]همگرا می شوند.
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(z) = f(z) \quad \text{(همگرایی یکنواخت روی هر فشرده)} \Rightarrow f \text{ تحلیلی است.} \]برای مثال، سری توانی
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \]را در نظر بگیرید. اگر شعاع همگرایی آن
\[ R \]باشد، این سری روی هر دیسک بسته به مرکز ۰ با شعاع
\[ r < R \]به طور یکنواخت همگرا است و تابع حد تحلیلی است.
این ویژگی در فیزیک ریاضی و نظریه ی کنترل برای حل معادلات دیفرانسیل با سری های توانی کاربرد دارد.
