حد تابع مختلط (Limit of Complex Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد تابع مختلط (Limit of Complex Functions) :

حد تابع مختلط (Limit of Complex Functions) به رفتار یک تابع با متغیر مختلط

\[ f(z) \]

وقتی

\[ z \]

به یک نقطه

\[ z_0 \]

در صفحه ی مختلط نزدیک می شود می پردازد. تعریف حد در توابع مختلط شبیه توابع حقیقی است اما با این تفاوت که

\[ z \]

می تواند از هر مسیری در صفحه به

\[ z_0 \]

نزدیک شود.

تعریف دقیق:

\[ \lim_{z \to z_0} f(z) = L \]

اگر برای هر

\[ \epsilon > 0 \]

،

\[ \delta > 0 \]

وجود داشته باشد به طوریکه اگر

\[ 0 < |z - z_0| < \delta \]

آن گاه

\[ |f(z) - L| < \epsilon \]

.

\[ \lim_{z \to z_0} f(z) = L \]

برای مثال،

\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1 \]

که مشابه حد حقیقی است. اما برخی توابع مختلط ممکن است حد نداشته باشند حتی اگر در توابع حقیقی حد داشته باشند، زیرا مسیرهای مختلف در صفحه ی مختلط می توانند مقادیر متفاوتی بدهند.

مثال: تابع

\[ f(z) = \frac{\bar{z}}{z} \]

در

\[ z=0 \]

حد ندارد زیرا اگر از مسیر

\[ z = x \]

(روی محور حقیقی) نزدیک شویم حد ۱ است و اگر از مسیر

\[ z = iy \]

(روی محور موهومی) نزدیک شویم حد ۱- است.

حد توابع مختلط پایه و اساس تحلیل مختلط است و برای تعریف مشتق و انتگرال گیری مختلط ضروری می باشد.