حد معکوس (Inverse Limit / Projective Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد معکوس (Inverse Limit / Projective Limit) :

حد معکوس (Inverse Limit) یا حد تصویری (Projective Limit) دوگان حد مستقیم است. در اینجا یک دستگاه معکوس از اشیا و مورفیسم ها داریم که در جهت مخالف عمل می کنند. حد معکوس شیئی است که تصویر آن روی هر یک از اشیا با سازگاری مورفیسم ها همراه است.

یک دستگاه معکوس شامل یک مجموعه ی جزئا مرتب

\[ I \]

(جهت دار) و برای هر

\[ i \]

یک شیء

\[ X_i \]

و برای هر

\[ i \le j \]

یک مورفیسم

\[ f_{ij}: X_j \to X_i \]

است (توجه کنید که جهت مخالف است). حد معکوس، شیء

\[ \varprojlim X_i \]

همراه با مورفیسم های

\[ \pi_i: \varprojlim X_i \to X_i \]

است که با مورفیسم های دستگاه سازگارند و خاصیت جهانی دارند.

\[ \varprojlim_{i \in I} X_i \]

مثال کلاسیک: اعداد صحیح

\[ p \]

-ادیک

\[ \mathbb{Z}_p = \varprojlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \]

که حد معکوس حلقه های

\[ \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \]

با مورفیسم های کاهشی است.

حد معکوس در توپولوژی (مثلا ساخت فضای profinite)، جابجایی جبر و آنالیز تابعی (فضاهای فریشه) کاربرد فراوان دارد.