حد درونی (Inner Limit)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد درونی (Inner Limit) :
حد درونی (Inner Limit) مفهومی است در نظریه ی مجموعه ها و آنالیز محدب که به حد دنباله ای از مجموعه ها از دیدگاه نقاط داخلی اشاره دارد. این مفهوم با liminf مجموعه ها مرتبط است.
برای دنباله ای از مجموعه های
\[ C_n \]در یک فضای توپولوژیک، حد درونی به صورت مجموعه ی نقاطی تعریف می شود که هر همسایگی آن ها برای تمامی
\[ n \]های بزرگ با
\[ C_n \]اشتراک دارد. به عبارت دقیق تر:
\[ \liminf_{n \to \infty} C_n = \{ x : \forall \text{ همسایگی } U \text{ از } x, \exists N; \forall n \ge N, U \cap C_n \neq \emptyset \} \]این مفهوم در مقابل حد بیرونی (Outer Limit) قرار دارد. در آنالیز محدب و بهینه سازی، از این مفاهیم برای بررسی همگرایی مجموعه های شدنی ( feasible sets) استفاده می شود.
برای مثال، اگر
\[ C_n = [0, 1 + \frac{1}{n}] \]، آن گاه حد درونی برابر
\[ [0,1] \]است. زیرا نقاط داخل [0,1] برای همسایگی های کوچک خود با همه ی
\[ C_n \]های بزرگ اشتراک دارند.
حد درونی در مطالعه ی همگرایی epigraph توابع در بهینه سازی محدب نقش کلیدی دارد و به تعریف همگرایی Kuratowski و همگرایی Painlevé-Kuratowski منجر می شود.
