حد مکرر (Iterated Limit)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد مکرر (Iterated Limit) :
حد مکرر به حالتی گفته می شود که ابتدا حد تابع را نسبت به یک متغیر می گیریم (با ثابت نگه داشتن متغیر دیگر) و سپس حد نتیجه را نسبت به متغیر دوم محاسبه می کنیم. ترتیب حدگیری مهم است.
برای تابع
\[ f(x,y) \]، دو حد مکرر می توانیم داشته باشیم:
\[ \lim_{x \to a} \left( \lim_{y \to b} f(x,y) \right) \quad \text{و} \quad \lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x,y) \right) \]این دو حد ممکن است با هم برابر نباشند یا یکی وجود نداشته باشد. برای مثال تابع
\[ f(x,y) = \frac{x-y}{x+y} \]را در
\[ (0,0) \]بررسی کنید. حد مکرر اول (اول x سپس y):
\[ \lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{x-y}{x+y} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \]. حد مکرر دوم:
\[ \lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} \frac{x-y}{x+y} \right) = \lim_{y \to 0} \frac{-y}{y} = -1 \]. این دو متفاوتند.
حد مکرر با حد مضاعف رابطه دارد. اگر حد مضاعف وجود داشته باشد، آن گاه هر دو حد مکرر (در صورت وجود) با آن برابرند. ولی عکس این قضیه برقرار نیست.
در مسائل تعویض ترتیب حد و انتگرال یا حد و سری، حد مکرر اهمیت می یابد. قضیه ی فوبینی برای انتگرال گیری نیز به نوعی به تعویض ترتیب انتگرال گیری (که حدی از مجموع هاست) مربوط می شود.
