حد روی یک مسیر (Limit Along a Path)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد روی یک مسیر (Limit Along a Path) :
حد روی یک مسیر مشابه حد جهت دار است اما مسیر می تواند هر منحنی دلخواهی باشد، نه لزوما خط راست. این مفهوم برای نشان دادن عدم وجود حد بسیار مفید است: اگر بتوان دو مسیر یافت که حدهای متفاوتی بدهند، آن گاه حد کلی وجود ندارد.
برای تابع
\[ f(x,y) \]، مسیر می تواند خط
\[ y=mx \]، سهمی
\[ y=x^2 \]، یا حتی مسیرهای پیچیده تر باشد. برای مثال تابع معروف
\[ f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} \]را با مسیر
\[ y=x^2 \]بررسی کنید:
\[ \lim_{x \to 0} f(x, x^2) = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac{1}{2} \]در حالی که در مسیر
\[ y=0 \]حد صفر است. پس حد کلی وجود ندارد.
حد روی مسیر در آنالیز حقیقی و مختلط برای مطالعه ی توابع با تکینگی ها و نقاط شاخه ای کاربرد دارد. در انتگرال گیری روی مسیرهای خاص در صفحه ی مختلط نیز این مفهوم اهمیت می یابد.
برای اثبات وجود حد چندمتغیره، باید نشان دهیم حد روی همه ی مسیرها یکسان است، که کاری دشوار است. اما برای رد وجود حد، یافتن دو مسیر با حد متفاوت کافی است.
