حد جهت دار (Directional Limit)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد جهت دار (Directional Limit) :
حد جهت دار حد تابع چندمتغیره وقتی در امتداد یک جهت خاص (مثلا یک بردار واحد) به نقطه ی مورد نظر نزدیک می شویم. این حد به جهت وابسته است و وجود حد جهت دار در همه ی جهات برای وجود حد کلی لازم است ولی کافی نیست.
برای تابع
\[ f(x,y) \]، حد در امتداد جهت بردار
\[ \mathbf{u} = (u_1, u_2) \]به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \lim_{t \to 0} f(a + t u_1, b + t u_2) \]مثال: تابع
\[ f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} \]را در نظر بگیرید. در امتداد خط
\[ y=mx \]، حد صفر است. اما در امتداد سهمی
\[ y=x^2 \]، حد
\[ \frac{1}{2} \]است. بنابراین حد کلی وجود ندارد، زیرا دو جهت مقادیر متفاوت می دهند.
حد جهت دار در تعریف مشتق جهتی نقش کلیدی دارد. اگر تابع در یک نقطه مشتق پذیر باشد، همه ی حدهای جهتی وجود دارند و با ضرب داخلی گرادیان در بردار جهت برابرند.
در فیزیک، میدان های برداری و اسکالر اغلب در جهات مختلف رفتار متفاوتی دارند و حد جهت دار به تحلیل این رفتار کمک می کند.
