حد توابع دو متغیره (Limit of Functions of Two Variables)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع دو متغیره (Limit of Functions of Two Variables) :

این نوع حد حالت خاصی از حد چندمتغیره است که دقیقا برای توابع با دو متغیر مستقل تعریف می شود. مفاهیم و چالش های آن مشابه حالت کلی است.

برای تابع

\[ f(x,y) \]

، حد وقتی

\[ (x,y) \to (a,b) \]

برابر L است اگر برای هر

\[ \varepsilon > 0 \]

،

\[ \delta > 0 \]

موجود باشد به طوریکه اگر

\[ 0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta \]

آن گاه

\[ |f(x,y) - L| < \varepsilon \]

.

\[ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L \]

مثال:

\[ f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \]

. با استفاده از نامساوی

\[ |\frac{x^2 y}{x^2+y^2}| \le |y| \]

و قضیه ی فشردگی، حد در

\[ (0,0) \]

برابر صفر است.

در توابع دو متغیره، گاهی از مسیرهای مختلف مانند خطوط

\[ y=mx \]

یا منحنی های دیگر برای آزمون وجود حد استفاده می کنیم. اگر در دو مسیر مقادیر متفاوتی به دست آید، حد وجود ندارد.

حد توابع دو متغیره در بررسی پیوستگی، مشتقات جزئی و بهینه سازی توابع چندمتغیره اساسی است.