حد پایینی (Limit Inferior / Liminf)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد پایینی (Limit Inferior / Liminf) :
حد پایینی یک دنباله، بزرگترین کران پایین مقادیر حدی دنباله است. به عبارت دیگر، liminf مقداری است که دنباله در نهایت از آن پایین تر نمی رود (یا هر قدر هم پایین برود، باز هم نقاطی بالاتر از آن وجود دارد).
برای دنباله های همگرا، liminf با lim برابر است. اما برای دنباله های نوسانی، liminf کوچک ترین مقدار حدی را نشان می دهد. مثلا دنباله ی
\[ a_n = (-1)^n \]را در نظر بگیرید: liminf آن
\[ -1 \]است.
\[ \liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k \ge n} a_k \right) \]در تحلیل ریاضی، liminf و limsup برای بررسی همگرایی دنباله ها و سری ها به کار می روند. اگر liminf و limsup با هم برابر باشند، دنباله همگراست.
مثال: دنباله ی
\[ a_n = \sin n \]liminf آن
\[ -1 \]و limsup آن
\[ 1 \]است. این دنباله همگرا نیست.
Liminf در نظریه ی اندازه و احتمال نیز ظاهر می شود. مثلا در لم Fatou برای انتگرال گیری، liminf نقش کلیدی دارد.
