حد توابع معادلات دیفرانسیل (Limit of Solutions of Differential Equations)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حد توابع معادلات دیفرانسیل (Limit of Solutions of Differential Equations) :
معادلات دیفرانسیل رفتار بسیاری از پدیده های طبیعی را توصیف می کنند. اغلب می خواهیم بدانیم جواب یک معادله ی دیفرانسیل وقتی زمان به بی نهایت می رود چه می شود. به این حد، حالت پایدار (Steady State) می گویند.
برای مثال، معادله ی
\[ \frac{dy}{dt} = -ky \](با
\[ k>0 \]) جواب
\[ y(t) = y_0 e^{-kt} \]دارد و
\[ \lim_{t \to \infty} y(t) = 0 \].
\[ \lim_{t \to \infty} y_0 e^{-kt} = 0 \]در معادلات غیرخطی، حد جواب ها ممکن است به شرایط اولیه بستگی داشته باشد. مثلا معادله ی لجستیک
\[ \frac{dy}{dt} = ry(1-\frac{y}{K}) \]دارای دو نقطه ی تعادل
\[ y=0 \]و
\[ y=K \]است. برای شرایط اولیه مثبت، حد به
\[ K \]میل می کند.
حد جواب ها در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی نیز اهمیت دارد. برای مثال، در معادله ی گرما، توزیع دما در زمان طولانی به یک توزیع یکنواخت میل می کند.
بررسی حد جواب ها به ما کمک می کند پایداری سیستم ها را تحلیل کنیم. در مهندسی کنترل، این حد نشان دهنده ی پاسخ نهایی سیستم به ورودی است.
