حد توابع هیپربولیک (Hyperbolic Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع هیپربولیک (Hyperbolic Limit) :

توابع هیپربولیک مانند

\[ \sinh x \]

،

\[ \cosh x \]

و

\[ \tanh x \]

مشابه توابع مثلثاتی هستند اما با تعریف بر اساس توابع نمایی. این توابع در هندسه هیپربولیک، نسبیت خاص و بسیاری از شاخه های فیزیک ظاهر می شوند.

حدود این توابع در بی نهایت جالب هستند. برای مثال،

\[ \lim_{x \to \infty} \tanh x = 1 \]

و

\[ \lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1 \]

.

\[ \lim_{x \to \infty} \tanh x = 1 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1 \]

همچنین

\[ \lim_{x \to \infty} \sinh x = \infty \]

و

\[ \lim_{x \to \infty} \cosh x = \infty \]

اما نسبت آن ها حد دارد:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sinh x}{\cosh x} = \lim_{x \to \infty} \tanh x = 1 \]

.

حد

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]

مشابه حد

\[ \frac{\sin x}{x} \]

است. این تشابه به دلیل ارتباط نزدیک توابع هیپربولیک با نمایی است.

توابع هیپربولیک معکوس نیز حدهای خاص خود را دارند. مثلا

\[ \lim_{x \to 1^-} \tanh^{-1} x = \infty \]

. این حدها در حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال گیری ظاهر می شوند.

در فیزیک، توابع هیپربولیک در توصیف حرکت در فضازمان مینکوفسکی و همچنین در توزیع سرعت ها در فیزیک آماری (توزیع ماکسول-بولتزمن) کاربرد دارند.