حد توابع معکوس (Limit of Inverse Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد توابع معکوس (Limit of Inverse Functions) :

اگر تابع

\[ f \]

وارون پذیر باشد، رفتار حدی آن با تابع معکوسش ارتباط دارد. معمولا اگر

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

و

\[ f \]

پیوسته و یک به یک باشد، آن گاه

\[ \lim_{y \to L} f^{-1}(y) = a \]

.

برای نمونه تابع

\[ f(x) = e^x \]

را در نظر بگیرید.

\[ \lim_{x \to 0} e^x = 1 \]

، بنابراین

\[ \lim_{y \to 1} \ln y = 0 \]

.

\[ \lim_{x \to 0} e^x = 1 \Longrightarrow \lim_{y \to 1} \ln y = 0 \]

حد توابع معکوس مثلثاتی نیز مثال خوبی است:

\[ \lim_{x \to 0} \arcsin x = 0 \]

زیرا

\[ \lim_{y \to 0} \sin y = 0 \]

.

در برخی موارد، تابع معکوس در مرز دامنه ممکن است حد بینهایت داشته باشد، مثلا

\[ \lim_{x \to 1^-} \arcsin x = \frac{\pi}{2} \]

.

این نوع حد در حل معادلات و تبدیل متغیرها در انتگرال گیری کاربرد دارد.