حد لگاریتمی (Logarithmic Limit)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع حد (Limit) را در آموزش زیر شرح دادیم :

حد لگاریتمی (Logarithmic Limit) :

حد لگاریتمی به حدهایی گفته می شود که در آن ها تابع لگاریتم ظاهر می شود. لگاریتم در نقطه ی ۱ دارای مقدار صفر است و در نزدیکی صفر به سمت منفی بی نهایت میل می کند. این رفتار باعث می شود حدهای جالبی پدید آیند.

یکی از مهم ترین حدهای لگاریتمی، حد

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]

است. این حد نشان می دهد که برای مقادیر کوچک

\[ x \]

،

\[ \ln(1+x) \]

تقریبا با

\[ x \]

برابر است.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]

همچنین حد

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \]

نشان می دهد که رشد لگاریتم در مقایسه با رشد خطی بسیار کندتر است. این حد در تحلیل مرتبه توابع و علوم کامپیوتر بسیار کاربرد دارد.

حد لگاریتمی دیگر

\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \]

است. اگرچه وقتی

\[ x \]

به صفر می رسد،

\[ \ln x \]

به

\[ -\infty \]

می رود، اما ضرب شدن در

\[ x \]

باعث می شود حاصل به صفر میل کند. این حد در محاسبه انتگرال های ناسره و تئوری احتمال دیده می شود.

حد لگاریتمی با تغییر پایه نیز کاربرد دارد:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln a} \]

.

در فیزیک و شیمی، لگاریتم در مدل های آنتروپی و ترمودینامیک ظاهر می شود و حدهای آن نقش مهمی در توصیف حالت های حدی ایفا می کنند.