سیگنال کاملا انتگرال پذیر (Absolutely Integrable Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال کاملا انتگرال پذیر (Absolutely Integrable Signal) :
تعریف: یک سیگنال کاملا انتگرال پذیر (absolutely integrable) سیگنالی است که انتگرال قدر مطلق آن روی تمام زمان ها (یا روی دامنه تعریف) محدود باشد. این ویژگی شرط کافی برای وجود تبدیل فوریه است.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty \]ارتباط با فضای L1: این سیگنال ها فضای L1 را تشکیل می دهند. همه سیگنال های L1 دارای تبدیل فوریه ای هستند که یک تابع پیوسته و کراندار است.
مثال ها: پالس مستطیلی، سیگنال نمایی میرا (
\[ e^{-at}u(t) \]با
\[ a>0 \])، سیگنال مثلثی. سیگنال سینوسی خالص در این دسته قرار نمی گیرد زیرا انتگرال قدر مطلق آن روی تمام زمان نامحدود است.
تفاوت با انتگرال پذیر مربعی (L2): L1 یک شرط متفاوت است. یک سیگنال می تواند L1 باشد ولی L2 نباشد (مثلا یک سیگنال با دامنه که به کندی کاهش می یابد) و بالعکس. اما برای سیگنال های با پشتیبانی فشرده (مدت محدود)، هر دو شرط معادل هستند.
اهمیت در تبدیل فوریه: اگر
\[ x(t) \]کاملا انتگرال پذیر باشد، تبدیل فوریه آن
\[ X(f) \]وجود دارد و یک تابع پیوسته و کراندار است. همچنین قضیه همگرایی نقطه ای تبدیل فوریه معکوس برقرار است.
مثال عملی: پاسخ ضربه یک فیلتر پایدار (مثل فیلتر RC) کاملا انتگرال پذیر است.
جمع بندی: کاملا انتگرال پذیر بودن (L1) یک ویژگی مهم برای تضمین وجود تبدیل فوریه و پیوستگی آن است.
