سیگنال انتگرال پذیر مربعی (Square-Integrable Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال انتگرال پذیر مربعی (Square-Integrable Signal) :
تعریف: یک سیگنال (معمولا با انرژی محدود) انتگرال پذیر مربعی (square-integrable) است اگر انتگرال مربع قدر مطلق آن (انرژی) محدود باشد. این سیگنال ها فضای هیلبرت
\[ L^2 \]را تشکیل می دهند.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty \]ارتباط با سیگنال انرژی: سیگنال های انرژی همان سیگنال های انتگرال پذیر مربعی هستند. این سیگنال ها انرژی محدود دارند.
مثال ها: پالس های با مدت محدود (مستطیلی، مثلثی، گوسی)، سیگنال های نمایی میرا (
\[ e^{-at}u(t) \]).
اهمیت: فضای
\[ L^2 \]یک فضای هیلبرت است، یعنی دارای ضرب داخلی و مفهوم متعامد بودن است. این ویژگی پایه و اساس سری فوریه (برای سیگنال های دوره ای) و تبدیل فوریه (برای سیگنال های انرژی) است.
تبدیل فوریه: برای سیگنال های
\[ L^2 \]، تبدیل فوریه وجود دارد و یک تناظر یک به یک بین سیگنال در حوزه زمان و فرکانس برقرار است. قضیه پارسوال (Parseval) بیان می کند که انرژی سیگنال در حوزه زمان با انرژی آن در حوزه فرکانس برابر است.
\[ \int |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int |X(\omega)|^2 d\omega \]کاربردها: در مخابرات (سیگنال های با انرژی محدود)، در پردازش تصویر، در مکانیک کوانتومی (توابع موج باید انتگرال پذیر مربعی باشند).
مثال عملی: یک پالس رادار باید انرژی محدودی داشته باشد، بنابراین یک سیگنال انتگرال پذیر مربعی است.
جمع بندی: انتگرال پذیری مربعی ویژگی اصلی سیگنال های انرژی است و پایه و اساس تحلیل فوریه و فضای هیلبرت در پردازش سیگنال می باشد.
