سیگنال خودهمبسته (Autocorrelated Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال خودهمبسته (Autocorrelated Signal) :
تعریف: سیگنال خودهمبسته (autocorrelated) به سیگنالی گفته می شود که تابع خودهمبستگی (autocorrelation) آن برای تأخیرهای غیرصفر غیرصفر باشد. این نشان می دهد که نمونه های سیگنال در زمان های مختلف با یکدیگر همبستگی دارند.
تابع خودهمبستگی: برای سیگنال انرژی:
\[ R_{xx}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) x(t+\tau) dt \]. برای سیگنال توان:
\[ R_{xx}(\tau) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) x(t+\tau) dt \].
\[ R_{xx}(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)] \quad \text{(فرآیند تصادفی مانا)} \]کاربردها: تخمین دوره تناوب سیگنال های دوره ای (پیک تابع خودهمبستگی در تأخیر متناظر با دوره تناوب)، تشخیص نویز سفید (که خودهمبستگی آن فقط در صفر غیرصفر است)، در پردازش گفتار (تخمین زیروبمی)، در رادار و سونار.
ویژگی ها: تابع خودهمبستگی زوج است:
\[ R_{xx}(-\tau) = R_{xx}(\tau) \]. مقدار آن در صفر (
\[ R_{xx}(0) \]) برابر انرژی (یا توان) سیگنال است.
رابطه با چگالی طیف توان: تبدیل فوریه تابع خودهمبستگی، چگالی طیف توان (PSD) را می دهد:
\[ S_{xx}(f) = \mathcal{F}\{R_{xx}(\tau)\} \].
مثال عملی: در یک سیگنال ECG، تابع خودهمبستگی پیک هایی در مضارب دوره تناوب ضربان قلب نشان می دهد.
جمع بندی: خودهمبستگی ابزاری قدرتمند برای تحلیل ساختار زمانی سیگنال ها، یافتن تناوب، و ارتباط با حوزه فرکانس است.
