سیگنال علامت (Signum Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال علامت (Signum Signal) :

تعریف: سیگنال علامت (signum) که با

\[ \text{sgn}(t) \]

نمایش داده می شود، تابعی است که علامت یک عدد حقیقی را نشان می دهد.

\[ \text{sgn}(t) = 1 \]

برای

\[ t > 0 \]

،

\[ \text{sgn}(t) = -1 \]

برای

\[ t < 0 \]

، و

\[ \text{sgn}(0) = 0 \]

(معمولا).

\[ \text{sgn}(t) = \begin{cases} 1, & t > 0 \\ 0, & t = 0 \\ -1, & t < 0 \end{cases} \]

رابطه با پله واحد:

\[ \text{sgn}(t) = 2u(t) - 1 \]

. یعنی با شیفت و مقیاس گذاری پله واحد به دست می آید.

تبدیل فوریه: تبدیل فوریه تابع علامت برابر

\[ \mathcal{F}\{\text{sgn}(t)\} = \frac{2}{j\omega} \]

(به جز در صفر).

کاربردها: در تعریف تبدیل هیلبرت (که پاسخ ضربه آن

\[ h(t) = \frac{1}{\pi t} \]

است و با تبدیل فوریه

\[ -j \text{sgn}(\omega) \]

مرتبط است)، در نظریه کنترل، و در پردازش سیگنال برای استخراج علامت.

مثال عملی: در یک مدار مقایسه کننده (comparator)، خروجی با توجه به علامت اختلاف دو ولتاژ، به سطوح بالا یا پایین می رود. این عملکرد مشابه تابع علامت است.

جمع بندی: تابع علامت یک سیگنال پایه دیگر است که رابطه نزدیکی با پله واحد و تبدیل هیلبرت دارد.