سیگنال نمایی توانی (Power Exponential Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال نمایی توانی (Power Exponential Signal) :
تعریف: سیگنال نمایی توانی (power exponential) به سیگنالی گفته می شود که در آن متغیر مستقل (زمان) به توان یک عدد (غیر از یک) رسیده باشد و سپس در یک نمایی ضرب شده باشد. شکل کلی:
\[ x(t) = A t^n e^{at} \]که در آن n یک عدد حقیقی (معمولا صحیح) است.
مثال ها:
\[ x(t) = t e^{-at}u(t) \](پاسخ یک سیستم مرتبه دوم بحرانی میرایی)،
\[ x(t) = t^2 e^{-at}u(t) \]، و یا ترکیبات با نمایی مختلط
\[ t^n e^{j\omega t} \].
رابطه با تبدیل لاپلاس: این سیگنال ها در تبدیل لاپلاس قطب های مرتبه بالاتر (multiple poles) ایجاد می کنند. برای مثال، تبدیل لاپلاس
\[ t^n e^{-at}u(t) \]برابر
\[ \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} \]است.
\[ \mathcal{L}\{t^n e^{-at}u(t)\} = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} \]کاربرد در سیستم ها: پاسخ سیستم های مرتبه بالا یا سیستم هایی با قطب های تکراری به ورودی های پایه (پله، ضربه) شامل این نوع سیگنال ها می شود.
مثال عملی: پاسخ یک تقویت کننده با فیدبک چندگانه که دارای قطب های تکراری است، می تواند شامل عبارت
\[ t e^{-at} \]باشد.
جمع بندی: سیگنال های نمایی توانی تعمیمی از سیگنال های نمایی ساده هستند و در تحلیل سیستم های مرتبه بالا ظاهر می شوند.
