سیگنال پایا به مفهوم ضعیف (Wide-Sense Stationary Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال پایا به مفهوم ضعیف (Wide-Sense Stationary Signal) :
تعریف: یک سیگنال تصادفی
\[ x(t) \]پایا به مفهوم ضعیف (wide-sense stationary - WSS) است اگر دو شرط زیر برقرار باشد:
میانگین آن با زمان تغییر نکند:
\[ E[x(t)] = \mu \](ثابت).
تابع خودهمبستگی آن فقط به اختلاف زمانی وابسته باشد:
\[ R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 - t_2) \].
\[ E[x(t)] = \mu, \quad R_x(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)] \]اهمیت در مهندسی: اکثر تئوری های پردازش سیگنال تصادفی (مانند تخمین طیف، فیلتر وینر، پیش بینی خطی) بر اساس فرض WSS بنا شده اند. این فرض تحلیل را بسیار ساده تر می کند.
ارگودیسیتی: یک سیگنال WSS ممکن است ارگودیک باشد یا نباشد. اگر ارگودیک باشد، می توان میانگین های آماری را با میانگین گیری زمانی روی یک تحقق (realization) تخمین زد.
چگالی طیف توان (PSD): برای سیگنال های WSS، چگالی طیف توان به عنوان تبدیل فوریه تابع خودهمبستگی تعریف می شود:
\[ S_x(f) = \mathcal{F}\{R_x(\tau)\} \]. این یک ابزار بسیار مهم در تحلیل فرکانسی سیگنال های تصادفی است.
مثال ها: نویز سفید (WSS است اگر میانگین صفر و واریانس ثابت داشته باشد)، بسیاری از سیگنال های نویز در حالت پایا.
کاربرد در فیلتر کالمن: فیلتر کالمن برای سیستم های خطی با نویزهای WSS بهینه است.
مثال عملی: نویز پس زمینه در یک اتاق (صدای فن کامپیوتر، همهمه دور) اگر در مقیاس زمانی چند دقیقه ای بررسی شود، تقریبا WSS است.
جمع بندی: مانایی ضعیف (WSS) مهم ترین و پرکاربردترین مفهوم ایستایی در پردازش سیگنال است.
