سیگنال چندبعدی (Multi-Dimensional Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال چندبعدی (Multi-Dimensional Signal) :
تعریف: سیگنال چندبعدی (multi-dimensional) به سیگنالی گفته می شود که به بیش از دو متغیر مستقل وابسته باشد. متغیرها می توانند مکان، زمان، یا هر کمیت دیگری باشند. شکل عمومی:
\[ f(x_1, x_2, ..., x_n) \].
مثال ها: ویدئو (video): سه بعد (دو بعد مکانی + زمان). تصاویر سه بعدی (3D images) مانند داده های CT اسکن یا MRI (سه بعد مکانی). ویدئوی سه بعدی (چهار بعد). داده های لرزه ای سه بعدی (موقعیت مکانی + زمان).
ویدئو به عنوان سیگنال سه بعدی: ویدئو دنباله ای از فریم ها (تصاویر) است. بنابراین متغیرها: مختصات x و y (مکانی) و زمان t.
\[ I(x, y, t) \]. این سیگنال شامل اطلاعات حرکت نیز می شود.
\[ I(x, y, t) \quad \text{یا} \quad I[m, n, k] \]تصاویر پزشکی سه بعدی: در سیتی اسکن یا MRI، مجموعه ای از برش های دوبعدی یک حجم سه بعدی را می سازند. هر نقطه (voxel) در این حجم دارای مقدار شدت است.
\[ V(x, y, z) \].
داده های لرزه ای سه بعدی: در اکتشاف نفت، آرایه ای از گیرنده ها در سطح زمین قرار می گیرند و منبع لرزه ای در نقاط مختلف فعال می شود. داده ها تابعی از موقعیت منبع، موقعیت گیرنده و زمان هستند:
\[ S(x_s, y_s, x_r, y_r, t) \]که یک سیگنال ۵ بعدی است!
پردازش سیگنال چندبعدی: تعمیم مفاهیم یک بعدی و دوبعدی به ابعاد بالاتر: تبدیل فوریه چندبعدی، فیلتر کردن چندبعدی، نمونه برداری چندبعدی، تحلیل مولفه های اصلی (PCA) چندبعدی.
چالش ها: حجم داده بسیار زیاد، نیاز به حافظه و توان محاسباتی بالا، پیچیدگی الگوریتم ها، و مشکل "نفرین ابعاد" (curse of dimensionality).
کاربردها: تصویربرداری پزشکی (MRI, CT, PET)، ژئوفیزیک (اکتشاف نفت)، هواشناسی (داده های جوّی چهاربعدی)، ویدئو و انیمیشن، واقعیت مجازی.
مثال عملی: یک ویدئوی سه بعدی (فیلمی که با عینک سه بعدی تماشا می کنید) یک سیگنال چهاربعدی است: دو بعد مکانی برای هر چشم + زمان + تفاوت دید دو چشم (دیسپریتی).
جمع بندی: سیگنال های چندبعدی داده های پیچیده ای هستند که اطلاعات غنی تری نسبت به سیگنال های یک و دو بعدی دارند و در بسیاری از شاخه های پیشرفته علم و مهندسی کاربرد دارند.
