سیگنال نمونه برداری شده با نرخ نایکوئیست (Nyquist-Rate Sampled Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال نمونه برداری شده با نرخ نایکوئیست (Nyquist-Rate Sampled Signal) :
تعریف: سیگنال نمونه برداری شده با نرخ نایکوئیست (Nyquist-rate) به سیگنالی گفته می شود که با نرخی دقیقا برابر دو برابر پهنای باند سیگنال اصلی (نرخ نایکوئیست) یا بیشتر نمونه برداری شده باشد، به طوری که امکان بازسازی کامل سیگنال اصلی از روی نمونه ها وجود داشته باشد.
\[ f_s \ge 2 f_{\text{max}} \]قضیه نمونه برداری نایکوئیست-شانون: این قضیه بنیادی می گوید اگر یک سیگنال زمان-پیوسته با پهنای باند محدود (
\[ f_{\text{max}} \]) باشد، آنگاه با نرخ نمونه برداری
\[ f_s > 2f_{\text{max}} \]می توان آن را بدون هیچ گونه افت اطلاعاتی بازسازی کرد. نرخ
\[ 2f_{\text{max}} \]را نرخ نایکوئیست می نامند.
فرکانس نایکوئیست: فرکانس
\[ f_N = f_s/2 \]را فرکانس نایکوئیست می نامند. تمام فرکانس های بالاتر از این فرکانس پس از نمونه برداری دچار آلیاسینگ (aliasing) می شوند.
بازسازی ایده آل: بازسازی سیگنال اصلی با عبور سیگنال نمونه برداری شده از یک فیلتر پایین گذر ایده آل با فرکانس قطع
\[ f_N \]انجام می شود. در عمل، از فیلترهای تقریبی و درون یابی استفاده می شود.
نمونه برداری با نرخ بیشتر از نایکوئیست (oversampling): اگر با نرخی بالاتر از نایکوئیست نمونه برداری کنیم، مزایایی مانند کاهش نویز کوانتیده سازی و ساده تر شدن فیلتر ضدآلیاسینگ داریم.
نمونه برداری با نرخ کمتر از نایکوئیست (undersampling): اگر نرخ نمونه برداری کمتر از نایکوئیست باشد، آلیاسینگ رخ می دهد. اما گاهی عمدا از undersampling برای سیگنال های باندگذر استفاده می شود (نمونه برداری باندگذر).
فیلتر ضدآلیاسینگ (anti-aliasing filter): قبل از نمونه برداری، باید یک فیلتر پایین گذر آنالوگ با فرکانس قطع
\[ f_N \]قرار دهیم تا فرکانس های بالاتر از
\[ f_N \]تضعیف شوند و آلیاسینگ رخ ندهد.
کاربرد در صدا: استاندارد CD صوتی از نرخ نمونه برداری ۴۴.۱ کیلوهرتز استفاده می کند که بالاتر از نرخ نایکوئیست برای شنوایی انسان (حدود ۴۰ کیلوهرتز) است.
کاربرد در تصویر: در تصاویر دیجیتال، نمونه برداری مکانی (پیکسل ها) مشابه نمونه برداری زمانی است. نرخ نمونه برداری باید حداقل دو برابر فرکانس مکانی بالاترین جزئیات تصویر باشد تا از آلیاسینگ (پدیده موآر) جلوگیری شود.
مثال عملی: فرض کنید یک سیگنال صوتی با حداکثر فرکانس ۴ کیلوهرتز داریم. نرخ نایکوئیست ۸ کیلوهرتز است. اگر با نرخ ۸ کیلوهرتز نمونه برداری کنیم، سیگنال قابل بازسازی است. اگر با نرخ ۶ کیلوهرتز نمونه برداری کنیم، آلیاسینگ رخ می دهد.
جمع بندی: رعایت نرخ نایکوئیست شرط لازم برای نمونه برداری بدون اعوجاج است. این مفهوم پایه و اساس تبدیل آنالوگ به دیجیتال (ADC) را تشکیل می دهد.
