سیگنال تحلیلی (Analytic Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال تحلیلی (Analytic Signal) :
تعریف: سیگنال تحلیلی (analytic signal) یک سیگنال مختلط است که قسمت حقیقی آن سیگنال اصلی و قسمت موهومی آن تبدیل هیلبرت (Hilbert transform) سیگنال اصلی است. برای یک سیگنال حقیقی
\[ x(t) \]، سیگنال تحلیلی به صورت
\[ z(t) = x(t) + j \hat{x}(t) \]تعریف می شود که
\[ \hat{x}(t) \]تبدیل هیلبرت
\[ x(t) \]است.
\[ z(t) = x(t) + j \mathcal{H}\{x(t)\} \]ویژگی مهم در حوزه فرکانس: تبدیل فوریه سیگنال تحلیلی برای فرکانس های منفی صفر است. یعنی
\[ Z(f) = 2X(f) \]برای
\[ f > 0 \]و
\[ Z(f) = 0 \]برای
\[ f < 0 \]. به همین دلیل به آن "تحلیلی" می گویند.
تبدیل هیلبرت: تبدیل هیلبرت یک فیلتر خطی است که تمام مؤلفه های فرکانسی را
\[ -90^\circ \](منفی ۹۰ درجه) شیفت فاز می دهد. در حوزه فرکانس،
\[ \mathcal{H}\{x(t)\} \leftrightarrow -j \cdot \text{sgn}(f) X(f) \].
کاربرد در محاسبه فرکانس لحظه ای: از سیگنال تحلیلی می توان فرکانس لحظه ای (instantaneous frequency) و دامنه لحظه ای (instantaneous amplitude) سیگنال را محاسبه کرد:
\[ A(t) = |z(t)|, \quad \phi(t) = \arg(z(t)), \quad f_i(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi}{dt} \]کاربرد در مدولاسیون: سیگنال تحلیلی پایه نمایش مدولاسیون های تک سمت باند (SSB) است. با حذف فرکانس های منفی، می توان پهنای باند را نصف کرد.
پوش (envelope) سیگنال: دامنه سیگنال تحلیلی، یعنی
\[ |z(t)| \]، پوش سیگنال اصلی را به دست می دهد. این در تشخیص سیگنال های مدوله شده با دامنه (AM) و نیز در تحلیل سیگنال های میرا مفید است.
مثال: برای سیگنال
\[ x(t) = \cos(\omega t) \]، تبدیل هیلبرت آن
\[ \sin(\omega t) \]است. بنابراین سیگنال تحلیلی
\[ z(t) = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t) = e^{j\omega t} \]است.
کاربرد در پردازش گفتار: فرکانس لحظه ای سیگنال گفتار اطلاعات مفیدی درباره واکه ها و زیروبمی (pitch) می دهد.
کاربرد در ژئوفیزیک: در تحلیل سیگنال های لرزه ای، از سیگنال تحلیلی برای استخراج پوش و فاز لحظه ای استفاده می شود که به شناسایی لایه ها کمک می کند.
کاربرد در مخابرات: در گیرنده های دیجیتال، برای استخراج اطلاعات فاز و دامنه از سیگنال دریافتی، از سیگنال تحلیلی استفاده می شود.
جمع بندی: سیگنال تحلیلی یک ابزار قدرتمند برای استخراج ویژگی های لحظه ای سیگنال (پوش، فاز، فرکانس) و برای تحلیل سیگنال های باندگذر است.
