سیگنال مانا (Stationary Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال مانا (Stationary Signal) :
تعریف: یک سیگنال تصادفی (فرآیند تصادفی) را مانا (stationary) گویند اگر خواص آماری آن با تغییر زمان تغییر نکند. به عبارت دیگر، توزیع احتمال آن تحت شیفت زمانی ثابت می ماند.
انواع مانایی: دو نوع اصلی داریم: مانایی به مفهوم قوی (strict-sense stationary) که در آن تمام گشتاورها و توابع توزیع با زمان تغییر نمی کنند، و مانایی به مفهوم ضعیف (wide-sense stationary) که فقط میانگین و خودهمبستگی با زمان تغییر نمی کنند. در مهندسی، معمولا مانایی ضعیف مد نظر است.
\[ E[x(t)] = \mu \ (\text{ثابت}), \quad R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 - t_2) \]مانایی ضعیف (WSS): شرایط: ۱- میانگین ثابت باشد. ۲- تابع خودهمبستگی فقط به اختلاف زمانی وابسته باشد:
\[ R_x(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)] \].
اهمیت مانایی: تحلیل سیگنال های مانا بسیار ساده تر است، زیرا می توان از میانگین گیری زمانی استفاده کرد و تخمین های آماری معنی دار هستند. همچنین ابزارهایی مانند چگالی طیف توان (PSD) برای سیگنال های مانا تعریف می شوند.
مثال های سیگنال مانا: نویز سفید (ایده آل) یک سیگنال مانا است. نویز حرارتی در حالت پایا مانا است. سیگنال سینوسی با فاز تصادفی یکنواخت نیز مانا است.
سیگنال غیرمانا (non-stationary): بسیاری از سیگنال های طبیعی غیرمانا هستند: گفتار (خواص آن با زمان تغییر می کند)، سیگنال ECG (ضربان قلب ممکن است تغییر کند)، سیگنال لرزه ای (شدت آن با زمان تغییر می کند).
آزمون مانایی: آزمون های آماری مختلفی برای بررسی مانایی وجود دارد، مانند آزمون ریشه واحد (unit root test) در اقتصادسنجی، یا بررسی روند و تغییر واریانس.
ارگودیسیتی (ergodicity): یک سیگنال مانا ارگودیک است اگر میانگین های زمانی با میانگین های آماری (ensemble average) برابر باشند. این ویژگی در عمل بسیار مهم است، زیرا ما معمولا فقط یک تحقق (realization) از فرآیند داریم.
کاربرد در پردازش سیگنال: بسیاری از الگوریتم های پردازش سیگنال (مانند فیلتر وینر، پیش بینی خطی) برای سیگنال های مانا طراحی شده اند. برای سیگنال های غیرمانا، از تکنیک های تطبیقی (adaptive) یا آنالیز زمان-فرکانس استفاده می شود.
مثال عملی: نویز یک رادیوی FM که به ایستگاه تنظیم نیست، تقریبا مانا است. اما صدای یک سخنران غیرمانا است.
جمع بندی: مفهوم مانایی پایه و اساس تحلیل طیفی و بسیاری از روش های پردازش سیگنال است. تشخیص مانا یا غیرمانا بودن سیگنال اولین گام در انتخاب روش مناسب تحلیل است.
