سیگنال نویز گوسی (Gaussian Noise Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال نویز گوسی (Gaussian Noise Signal) :
تعریف: نویز گوسی (Gaussian noise) یک سیگنال تصادفی است که مقادیر آن دارای توزیع احتمال گوسی (نرمال) باشند. تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]پارامترها:
\[ \mu \]میانگین (معمولا صفر) و
\[ \sigma^2 \]واریانس (توان نویز) است. نویز گوسی با میانگین صفر رایج ترین نوع است.
نویز گوسی سفید (WGN): ترکیب نویز گوسی و نویز سفید: مقادیر آن گوسی و ناهمبسته هستند. این مدل استاندارد نویز در مخابرات و پردازش سیگنال است.
\[ w[n] \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2), \quad E[w[n]w[m]] = \sigma^2 \delta[n-m] \]منابع نویز گوسی: نویز حرارتی (thermal noise) در مقاومت ها به دلیل حرکت تصادفی الکترون ها، نویز شات (shot noise) در ترانزیستورها، و نویز کوانتیده سازی (با تعداد بیت کافی) تقریبا گوسی هستند.
قضیه حد مرکزی (Central Limit Theorem): مجموع تعداد زیادی متغیر تصادفی مستقل (با هر توزیعی) به سمت توزیع گوسی میل می کند. به همین دلیل نویز گوسی بسیار رایج است.
خواص نویز گوسی: ۱- نویز گوسی با میانگین صفر، کاملا با واریانس مشخص می شود. ۲- ضرایب تبدیل فوریه نویز گوسی نیز گوسی هستند. ۳- نویز گوسی بیشترین آنتروپی را در بین توزیع ها با واریانس ثابت دارد.
کاربرد در مخابرات: کانال های مخابراتی معمولا با نویز گوسی سفید جمع شونده (AWGN) مدل می شوند. ظرفیت کانال شانون بر اساس این مدل محاسبه می شود.
کاربرد در فیلتر کالمن (Kalman filter): فیلتر کالمن فرض می کند که نویز فرآیند و نویز اندازه گیری گوسی هستند. این فرض بهینه بودن فیلتر را تضمین می کند.
تشخیص سیگنال در نویز گوسی: در حضور نویز گوسی، آشکارساز بهینه بر اساس همبستگی (correlator) یا فیلتر منطبق (matched filter) طراحی می شود.
نرخ خطای بیت (BER): در مخابرات دیجیتال، احتمال خطای بیت در کانال AWGN با استفاده از تابع خطای کمپلمان (Q-function) محاسبه می شود.
\[ P_e = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \]نویز گوسی در پردازش تصویر: نویز گوسی افزوده به تصویر، باعث کاهش کیفیت می شود. برای حذف آن از فیلترهای هموارساز مانند فیلتر میانگین گیر یا فیلتر وینر (Wiener filter) استفاده می شود.
شبیه سازی نویز گوسی: در نرم افزارهایی مثل متلب، با دستور randn می توان نویز گوسی تولید کرد. برای توان مشخص، باید آن را در
\[ \sigma \]ضرب کرد.
مثال عملی: صدای خش خش یک تصویر تلویزیونی آنالوگ در مناطق دورافتاده (snow) نمونه ای از نویز گوسی است.
جمع بندی: نویز گوسی مهم ترین مدل نویز در علم و مهندسی است. درک خواص آن برای طراحی سیستم های مخابراتی، کنترلی و پردازش سیگنال حیاتی است.
