سیگنال نویز سفید (White Noise Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال نویز سفید (White Noise Signal) :

تعریف: نویز سفید (white noise) یک سیگنال تصادفی (stochastic process) است که توان یکسانی در تمام فرکانس ها دارد (مشابه نور سفید که شامل همه رنگ هاست). چگالی طیف توان (PSD) آن ثابت است:

\[ S_{xx}(f) = \frac{N_0}{2} \]

.

\[ S_{xx}(f) = \frac{N_0}{2}, \quad -\infty < f < \infty \]

خودهمبستگی نویز سفید: تابع خودهمبستگی نویز سفید یک ضربه دیراک است:

\[ R_{xx}(\tau) = \frac{N_0}{2} \delta(\tau) \]

. یعنی مقادیر آن در زمان های مختلف با هم ناهمبسته (uncorrelated) هستند.

نویز سفید ایده آل: نویز سفید ایده آل توان نامحدود دارد (چون پهنای باند بینهایت است) و در طبیعت وجود ندارد، اما یک مدل ریاضی مفید است. در عمل، نویز سفید با پهنای باند محدود (band-limited white noise) استفاده می شود.

نویز سفید گوسی (Gaussian white noise): اگر توزیع دامنه نویز سفید، گوسی (نرمال) باشد، به آن نویز سفید گوسی (WGN) می گویند. این رایج ترین مدل نویز در مخابرات و پردازش سیگنال است.

منابع نویز سفید: نویز حرارتی (thermal noise) در مقاومت ها، نویز شات (shot noise) در ترانزیستورها، و نویز کوانتیده سازی (quantization noise) تقریبا نویز سفید محسوب می شوند.

کاربرد در مخابرات: نویز سفید مدل استاندارد برای نویز کانال مخابراتی است. نسبت سیگنال به نویز (SNR) با فرض نویز سفید محاسبه می شود.

فیلتر کردن نویز سفید: اگر نویز سفید از یک فیلتر خطی عبور کند، خروجی نویز رنگی (colored noise) خواهد بود که چگالی طیف توان آن برابر

\[ |H(f)|^2 \]

ضرب در چگالی نویز سفید است.

سفید کردن (whitening): عمل معکوس، یعنی تبدیل یک نویز رنگی به نویز سفید، توسط فیلتر سفیدکننده (whitening filter) انجام می شود. این کار در تشخیص سیگنال و تطبیق فیلتر (matched filter) کاربرد دارد.

نویز سفید در پردازش تصویر: نویز فلفل و نمک (salt and pepper) یک نوع نویز غیرسفید است، اما نویز گوسی افزوده شده به تصویر را می توان تقریبا سفید در نظر گرفت.

نویز سفید در سیستم های کنترل: نویز سفید برای مدل سازی اغتشاشات ورودی و نویز اندازه گیری در فیلتر کالمن (Kalman filter) استفاده می شود.

تولید نویز سفید: در شبیه سازی، نویز سفید گوسی با مولد اعداد تصادفی با توزیع نرمال تولید می شود. برای سفید بودن، باید توان یکسانی در همه فرکانس ها داشته باشد، که با نمونه برداری مناسب حاصل می شود.

نویز سفید گسسته: دنباله

\[ w[n] \]

که در آن هر نمونه متغیر تصادفی با میانگین صفر و واریانس

\[ \sigma^2 \]

است و نمونه ها با هم ناهمبسته هستند:

\[ E[w[n]w[m]] = \sigma^2 \delta[n-m] \]

.

\[ w[n] \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2), \quad E[w[n]w[m]] = \sigma^2 \delta_{nm} \]

تبدیل فوریه نویز سفید: تبدیل فوریه یک دنباله متناهی از نویز سفید، یک طیف تصادفی با دامنه و فاز تصادفی دارد که میانگین توان آن در همه فرکانس ها یکسان است.

کاربرد در آمار: باقیمانده های (residuals) یک مدل رگرسیون خوب باید نویز سفید باشند (یعنی هیچ همبستگی سریالی نداشته باشند).

نویز سفید و نظریه اطلاعات: نویز سفید گوسی بیشترین آنتروپی را در بین فرآیندهای تصادفی با توان یکسان دارد و بنابراین "تصادفی ترین" است.

مثال عملی: صدای خش خش یک رادیوی FM که به درستی تنظیم نشده باشد، یا صدای باران (تا حدودی) شبیه نویز سفید است.

جمع بندی: نویز سفید یک مدل ریاضی اساسی برای نویز در مخابرات، کنترل، و پردازش سیگنال است. درک آن برای تحلیل سیستم ها در حضور نویز ضروری است.