سیگنال دیراک (Dirac Delta Signal / Function)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال دیراک (Dirac Delta Signal / Function) :
تعریف: ضربه دیراک (Dirac delta) که با
\[ \delta(t) \]نشان داده می شود، یک تابع تعمیم یافته (generalized function) یا توزیع (distribution) است که در مبدأ بینهایت است، در جاهای دیگر صفر است، و انتگرال آن روی کل خط حقیقی برابر ۱ است.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1, \quad \delta(t) = 0 \ \text{for} \ t \neq 0 \]ویژگی غربالگری (sifting property): مهم ترین ویژگی:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - t_0) dt = x(t_0) \]. این یعنی ضربه مقدار تابع را در نقطه مورد نظر بیرون می کشد.
ضریب مقیاس:
\[ \delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t) \]. این خاصیت از تغییر متغیر در انتگرال گیری نتیجه می شود.
کانولوشن با ضربه:
\[ x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \]. یعنی کانولوشن با ضربه شیفت یافته، همان شیفت سیگنال است.
نمایش ضربه به عنوان حد: ضربه دیراک را می توان حد توابع مختلفی در نظر گرفت: حد یک پالس مستطیلی با عرض رو به صفر و ارتفاع رو به بینهایت، حد یک گوسی با واریانس رو به صفر، حد
\[ \frac{\sin(kt)}{\pi t} \]وقتی
\[ k \to \infty \]، و غیره.
مشتق ضربه: مشتق ضربه (
\[ \delta'(t) \]) نیز یک توزیع است که به صورت
\[ \int \delta'(t) x(t) dt = -x'(0) \]عمل می کند.
ضربه در مختصات دیگر: در دو بعد، ضربه دوبعدی به صورت
\[ \delta(x, y) = \delta(x)\delta(y) \]تعریف می شود. در پردازش تصویر کاربرد دارد.
کاربرد در فیزیک: برای مدل سازی چگالی بار نقطه ای، نیروی ضربه ای (impulsive force)، و چشمه های لحظه ای در معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.
ارتباط با پله واحد: ضربه، مشتق تعمیم یافته پله واحد است:
\[ \frac{d}{dt} u(t) = \delta(t) \].
ضربه در سیستم های LTI: پاسخ ضربه (impulse response) یک سیستم، خروجی سیستم به ورودی
\[ \delta(t) \]است. پاسخ ضربه، سیستم را به طور کامل مشخص می کند.
تبدیل فوریه ضربه:
\[ \mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1 \]. یعنی ضربه شامل تمام فرکانس ها با دامنه یکسان است.
تبدیل فوریه معکوس ۱:
\[ \mathcal{F}^{-1}\{1\} = \delta(t) \]. این خاصیت دوگانی را نشان می دهد.
ضربه در فضای گسسته:
\[ \delta[n] = 1 \]برای
\[ n=0 \]و ۰ برای بقیه. این یک دنباله معمولی است، نه توزیع.
کاربرد در معادلات دیفرانسیل: تابع گرین (Green's function) یک معادله دیفرانسیل، پاسخ به تحریک ضربه ای است و برای حل معادلات با شرایط مرزی استفاده می شود.
محدودیت ها: ضربه دیراک یک ایده آل سازی ریاضی است و در عمل قابل تولید نیست. نزدیک ترین حالت، پالس های بسیار کوتاه با انرژی محدود است.
جمع بندی: ضربه دیراک یکی از مهم ترین مفاهیم در ریاضیات مهندسی و فیزیک است و در تحلیل سیستم ها، تبدیل های انتگرالی و معادلات دیفرانسیل کاربرد اساسی دارد.
