سیگنال شانه ای (Comb Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال شانه ای (Comb Signal) :
تعریف: سیگنال شانه ای (comb) یا قطار ضربه (impulse train) یک سیگنال دوره ای متشکل از ضربه های دیراک با فواصل منظم است. در زمان پیوسته:
\[ Ш_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \].
\[ Ш_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \]دوره تناوب: این سیگنال با دوره T تکرار می شود:
\[ Ш_T(t+T) = Ш_T(t) \]. در واقع، شانه ای یک سیگنال دوره ای با دوره T است.
تبدیل فوریه شانه ای: یکی از مهم ترین ویژگی های شانه ای این است که تبدیل فوریه آن نیز یک شانه ای است (خود-دوگان):
\[ \mathcal{F}\{Ш_T(t)\} = \frac{1}{T} Ш_{1/T}(f) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - \frac{k}{T}) \]کاربرد در نمونه برداری: سیگنال شانه ای برای مدل سازی نمونه برداری ایده آل استفاده می شود. سیگنال نمونه برداری شده
\[ x_s(t) = x(t) \cdot Ш_T(t) \]است.
بازسازی سیگنال: در حوزه فرکانس، نمونه برداری باعث تکرار طیف می شود که با ضرب در شانه ای در حوزه فرکانس قابل توضیح است.
سری فوریه شانه ای: شانه ای یک سیگنال دوره ای است و می توان آن را به صورت سری فوریه نیز نوشت:
\[ Ш_T(t) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j 2\pi k t / T} \].
کاربرد در فیزیک: در اپتیک، یک توری پراش (diffraction grating) رفتار مشابه شانه ای دارد و الگوی پراش آن شامل نقاط گسسته است.
کاربرد در کریستال شناسی: ساختار بلوری یک شبکه تناوبی از اتم هاست که با شانه ای سه بعدی مدل می شود. تبدیل فوریه آن (الگوی پراش اشعه ایکس) نیز یک شانه ای است.
سیگنال شانه ای گسسته: در زمان گسسته، شانه ای به صورت
\[ Ш_N[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n - kN] \]تعریف می شود. این سیگنال در تبدیل فوریه گسسته (DFT) و نمونه برداری در حوزه فرکانس کاربرد دارد.
\[ Ш_N[n] = \begin{cases} 1, & n \ \text{مضرب} \ N \\ 0, & \text{غیر آن} \end{cases} \]تبدیل فوریه گسسته زمان (DTFT) شانه ای گسسته: این تبدیل نیز یک شانه ای است (با مقیاس مناسب).
کاربرد در پردازش سیگنال چندنرخی (multirate): در افزایش نرخ نمونه برداری (upsampling)، ابتدا صفرها بین نمونه ها درج می شوند که معادل ضرب در یک شانه ای معکوس است.
مثال عملی: قطار پالس های نور در یک مخابرات نوری، یا پالس های ساعت (clock) در مدارهای دیجیتال که هر T ثانیه یک پالس تولید می کنند.
جمع بندی: سیگنال شانه ای یک ابزار ریاضی قدرتمند برای مدل سازی نمونه برداری، تناوب و ساختارهای شبکه ای است و به دلیل خاصیت خود-دوگانگی در تبدیل فوریه، اهمیت ویژه ای دارد.
