سیگنال مثلثی (Triangular Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال مثلثی (Triangular Signal) :
تعریف: سیگنال مثلثی (triangular) یک سیگنال است که به صورت خطی افزایش و سپس کاهش می یابد. شکل استاندارد آن:
\[ \Lambda(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| \le 1 \\ 0, & |t| > 1 \end{cases} \]. این سیگنال به صورت مثلث متساوی الساقین با ارتفاع ۱ و قاعده ۲ است.
\[ \Lambda(t) = \max(1 - |t|, 0) \]رابطه با کانولوشن مستطیلی: سیگنال مثلثی حاصل کانولوشن دو پالس مستطیلی با عرض یکسان است:
\[ \Lambda(t) = \text{rect}(t) * \text{rect}(t) \]. این خاصیت مهمی است.
انرژی سیگنال مثلثی: انرژی یک پالس مثلثی با ارتفاع A و قاعده T برابر
\[ E = \frac{2}{3} A^2 T \]است.
تبدیل فوریه سیگنال مثلثی: تبدیل فوریه پالس مثلثی برابر مربع تابع سینک است:
\[ \mathcal{F}\{\Lambda(\frac{t}{T})\} = T \cdot \text{sinc}^2(fT) \]مقایسه با مستطیل: تبدیل فوریه مثلثی (
\[ sinc^2 \]) نسبت به تبدیل مستطیلی (
\[ sinc \]) لوب های کناری کوچک تری دارد و سریع تر کاهش می یابد (بهترتیب
\[ 1/f^2 \]در مقابل
\[ 1/f \]). بنابراین مثلثی پهنای باند مؤثر کمتری دارد.
کاربرد در پردازش سیگنال: از سیگنال مثلثی به عنوان سیگنال آزمون (مثل موج مثلثی در مولد تابع) برای تست پاسخ سیستم ها استفاده می شود. همچنین در مدولاسیون (مثل مدولاسیون عرض پالس - PWM) کاربرد دارد.
پنجره مثلثی (triangular window) یا بارتلت: در تحلیل طیف، پنجره مثلثی برای کاهش پدیده نشتی استفاده می شود. این پنجره نسبت به مستطیلی لوب های کناری کمتری دارد، اما لوب اصلی پهن تری دارد.
تولید سیگنال مثلثی: در مدارهای الکترونیک، با شارژ و دشارژ خازن با جریان ثابت، سیگنال مثلثی تولید می شود. این سیگنال در مولدهای تابع (function generators) موجود است.
کاربرد در مبدل های آنالوگ به دیجیتال: در برخی مبدل های ADC (مثل مبدل های شیب دار - ramp type)، از سیگنال مثلثی برای اندازه گیری ولتاژ استفاده می شود.
سیگنال مثلثی گسسته: دنباله مثلثی به صورت
\[ x[n] = \max(1 - \frac{|n|}{N}, 0) \]برای
\[ |n| \le N \]و صفر برای بقیه.
کاربرد در گرافیک کامپیوتر: در سایه زنی (shading) و مدل سازی سه بعدی، از توابع مثلثی برای درون یابی خطی (lerp) استفاده می شود.
مشتق سیگنال مثلثی: مشتق سیگنال مثلثی (در مفهوم توزیع ها) یک سیگنال مستطیلی است (با علامت مخالف در دو طرف).
کاربرد در آمار: تابع چگالی احتمال توزیع مثلثی (triangular distribution) در شبیه سازی و تحلیل ریسک استفاده می شود.
مثال عملی: شکل موج خروجی یک اینورتر (مبدل DC به AC) گاهی برای کاهش هارمونیک ها به صورت مثلثی مدوله می شود (PWM مثلثی).
جمع بندی: سیگنال مثلثی به دلیل ارتباط نزدیک با کانولوشن و تبدیل فوریه ساده، و همچنین کاربرد در پنجره گذاری و تولید شکل موج، اهمیت دارد.
