سیگنال مستطیلی (Rectangular Signal / Box Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال مستطیلی (Rectangular Signal / Box Signal) :
تعریف: سیگنال مستطیلی (rectangular) یا پالس مستطیلی، یک سیگنال است که در یک بازه زمانی مشخص مقدار ثابت (معمولا ۱) و در خارج آن صفر است. تعریف استاندارد:
\[ \text{rect}(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & |t| = \frac{1}{2} \\ 0, & |t| > \frac{1}{2} \end{cases} \] \[ \text{rect}(t) = \begin{cases} 1, & |t| \le \frac{1}{2} \\ 0, & |t| > \frac{1}{2} \end{cases} \]پارامترها: یک پالس مستطیلی با عرض
\[ T \]و دامنه
\[ A \]به صورت
\[ A \cdot \text{rect}(\frac{t}{T}) \]نمایش داده می شود. گاهی با استفاده از پله واحد:
\[ \text{rect}(\frac{t}{T}) = u(t + T/2) - u(t - T/2) \].
انرژی سیگنال مستطیلی: انرژی یک پالس مستطیلی با دامنه A و عرض T برابر
\[ E = A^2 T \]است. این یک سیگنال انرژی است (انرژی محدود).
تبدیل فوریه سیگنال مستطیلی: تبدیل فوریه پالس مستطیلی یک تابع سینک است:
\[ \mathcal{F}\{\text{rect}(\frac{t}{T})\} = T \cdot \text{sinc}(fT) \]پهنای باند: پالس مستطیلی پهنای باند نامحدودی دارد (چون تبدیل فوریه آن تا بینهایت ادامه دارد)، اما بیشتر انرژی آن در لوب اصلی متمرکز است. پهنای باند مؤثر آن حدود
\[ 1/T \]است.
کاربرد در الکترونیک دیجیتال: سیگنال های کلاک (clock) در مدارهای دیجیتال، دنباله ای از پالس های مستطیلی هستند. این سیگنال ها برای هماهنگ سازی عملیات استفاده می شوند.
کاربرد در مخابرات: در مخابرات دیجیتال، از پالس های مستطیلی برای ارسال بیت ها استفاده می شود (رمزگذاری NRZ). اما این پالس ها پهنای باند زیادی اشغال می کنند و تداخل بین سمبلی ایجاد می کنند.
نمایش موج مربعی (square wave): موج مربعی دوره ای را می توان به صورت مجموع نامتناهی پالس های مستطیلی یا سری فوریه نمایش داد.
پدیده گیبس (Gibbs phenomenon): وقتی یک موج مربعی را با سری فوریه با تعداد محدود جمله تقریب می زنیم، در لبه ها نوسان و فراجهش رخ می دهد که به پدیده گیبس معروف است.
پنجره مستطیلی (rectangular window): در پردازش سیگنال، برای برش یک بخش از سیگنال از پنجره مستطیلی استفاده می شود. این پنجره ساده ترین نوع پنجره است، اما لوب های کناری بلندی در حوزه فرکانس ایجاد می کند.
مشتق پالس مستطیلی: مشتق پالس مستطیلی (به مفهوم توزیع ها) دو ضربه با علامت مخالف در لبه ها است:
\[ \frac{d}{dt} \text{rect}(t) = \delta(t+1/2) - \delta(t-1/2) \].
کاربرد در پردازش تصویر: فیلتر میانگین گیر (box filter) در تصاویر، یک هسته مستطیلی است که برای هموارسازی استفاده می شود. این فیلتر باعث تار شدن (blur) تصویر می گردد.
سیگنال مستطیلی گسسته: دنباله مستطیلی
\[ x[n] = 1 \]برای
\[ |n| \le N \]و
\[ 0 \]برای بقیه. تبدیل فوریه گسسته زمان (DTFT) آن یک تابع دیریکله (Dirichlet) است.
کاربرد در آمار: تابع چگالی احتمال توزیع یکنواخت (uniform distribution) یک پالس مستطیلی است.
مثال عملی: پالس نور یک دوربین فلاش، تقریبا مستطیلی است. سیگنال خروجی یک سنسور دیجیتال هنگام عکس برداری در معرض نور ثابت.
جمع بندی: سیگنال مستطیلی ساده ترین سیگنال پالسی است و به عنوان بلوک ساختمانی در بسیاری از کاربردها (مدارهای دیجیتال، پنجره گذاری، آزمون سیستم ها) استفاده می شود.
