سیگنال سینک (Sinc Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال سینک (Sinc Signal) :

تعریف: سیگنال سینک (sinc) به دو صورت تعریف می شود:

\[ sinc(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \]

(تعریف نرمال شده) یا

\[ sinc(t) = \frac{\sin(t)}{t} \]

(تعریف غیرنرمال). در پردازش سیگنال، تعریف نرمال شده رایج تر است.

\[ \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \]

مقدار در صفر: در

\[ t=0 \]

، این تابع حدی برابر ۱ دارد:

\[ \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = 1 \]

. بنابراین سینک در مبدأ پیوسته است.

ویژگی ها: سینک یک تابع زوج است:

\[ \text{sinc}(-t) = \text{sinc}(t) \]

. این تابع در نقاط

\[ t = n \]

(برای n عدد صحیح غیرصفر) صفر است. دامنه آن با نوسان کاهش می یابد.

تبدیل فوریه سینک: تبدیل فوریه سینک (نرمال شده) یک پالس مستطیلی است:

\[ \mathcal{F}\{\text{sinc}(t)\} = \text{rect}(f) = \begin{cases} 1, & |f| < \frac{1}{2} \\ 0, & |f| > \frac{1}{2} \end{cases} \]

دوگانگی (duality): بر اساس خاصیت دوگانگی تبدیل فوریه، تبدیل فوریه پالس مستطیلی، سینک است. این زوج تبدیل بسیار مهمی است.

کاربرد در بازسازی سیگنال (قضیه نمونه برداری): طبق قضیه نایکوئیست، یک سیگنال باند محدود را می توان از نمونه های خود با استفاده از درون یابی سینک بازسازی کرد:

\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \text{sinc}\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right) \]

فیلتر پایین گذر ایده آل: پاسخ ضربه فیلتر پایین گذر ایده آل با فرکانس قطع

\[ f_c \]

یک سینک است:

\[ h(t) = 2f_c \text{sinc}(2f_c t) \]

. این فیلدر از نظر عملی غیرقابل پیاده سازی است (غیرعلی و نامحدود).

انرژی سیگنال سینک: انرژی سینک محدود است و انتگرال مربع آن برابر ۱ است:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}^2(t) dt = 1 \]

.

صفرهای سینک: سینک در نقاط

\[ t = \pm 1, \pm 2, \pm 3, ... \]

صفر است. این خاصیت در درون یابی باعث می شود که در نقاط نمونه برداری، فقط همان نمونه تأثیر داشته باشد.

کاربرد در مخابرات: در سیستم های مخابراتی دیجیتال، از پالس های سینک (یا پالس های ریشه سینک - root raised cosine) برای ارسال داده با حداقل تداخل بین سمبلی (ISI) استفاده می شود.

سیگنال سینک گسسته:

\[ sinc[n] = \frac{\sin(\pi n)}{\pi n} \]

که برای

\[ n=0 \]

برابر ۱ و برای n غیرصفر صفر است. بنابراین سینک گسسته همان ضربه واحد است. این نشان می دهد که سینک پیوسته معادل گسسته اش ضربه است.

سینک و پدیده گیبس (Gibbs phenomenon): اگر سری فوریه یک موج مربعی را با تعداد محدودی جمله تقریب بزنیم، در نقاط ناپیوستگی، فراجهش (overshoot) رخ می دهد که با سینک مرتبط است.

لوب اصلی و لوب های کناری: سینک دارای یک لوب اصلی (main lobe) در مرکز و لوب های کناری (side lobes) با دامنه رو به کاهش است. نسبت دامنه لوب کناری اول به لوب اصلی حدود ۱۳.۵- دسی بل است.

کاربرد در آنتن ها: الگوی تابش یک آنتن روزنه (aperture antenna) مانند شکاف مستطیلی، به صورت سینک است. لوب اصلی جهت پرتو اصلی و لوب های کناری نشان دهنده تابش در جهات ناخواسته هستند.

سینک در اپتیک: الگوی پراش از یک شکاف مستطیلی (تک شکاف) به صورت تابع سینک است. نقاط روشن و تاریک در الگوی پراش با صفرهای سینک مطابقت دارند.

جمع بندی: سینک یک سیگنال پایه اساسی است که در بازسازی سیگنال، فیلترهای ایده آل، مخابرات دیجیتال، فیزیک و اپتیک کاربرد دارد.