سیگنال گوسی (Gaussian Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال گوسی (Gaussian Signal) :

تعریف: سیگنال گوسی (Gaussian) سیگنالی است که شکل آن توسط تابع گوسی (تابع توزیع نرمال) توصیف می شود. در زمان پیوسته، یک سیگنال گوسی به صورت

\[ x(t) = A e^{-\frac{(t-t_0)^2}{2\sigma^2}} \]

تعریف می شود که در آن

\[ A \]

دامنه،

\[ t_0 \]

مرکز و

\[ \sigma \]

انحراف معیار است.

\[ x(t) = A \exp\left(-\frac{(t-t_0)^2}{2\sigma^2}\right) \]

ویژگی های ریاضی: تابع گوسی یک تابع زوج (نسبت به

\[ t_0 \]

) است و به سرعت به سمت صفر میل می کند. سطح زیر منحنی گوسی (انتگرال از منفی بینهایت تا بینهایت) برابر

\[ A\sigma\sqrt{2\pi} \]

است.

پهنای مؤثر (effective width): پهنای مؤثر یک سیگنال گوسی تقریبا

\[ 2.355\sigma \]

(پهنای کامل در نصف حداکثر - FWHM) است. این سیگنال دارای پهنای باند محدودی نیست (از نظر تئوری بینهایت است)، اما انرژی آن عمدتا در یک بازه محدود متمرکز است.

اهمیت در آمار و احتمال: تابع گوسی، تابع چگالی احتمال توزیع نرمال است. بسیاری از پدیده های تصادفی طبیعی (مثل نویز حرارتی) توزیع نرمال دارند. نویز گوسی یکی از رایج ترین انواع نویز است.

تبدیل فوریه سیگنال گوسی: یکی از ویژگی های منحصربه فرد سیگنال گوسی این است که تبدیل فوریه آن نیز یک تابع گوسی است. اگر

\[ x(t) = e^{-\pi t^2} \]

باشد، آنگاه

\[ X(\omega) = e^{-\pi \omega^2} \]

. این خاصیت خود-دوگانی (self-duality) نامیده می شود.

\[ \mathcal{F}\{e^{-a t^2}\} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}} \]

کاربرد در پردازش سیگنال: فیلتر گوسی (Gaussian filter) یک فیلتر هموارساز است که پاسخ ضربه آن گوسی است. این فیلتر خاصیت حداقل پهنای باند-مدت (minimum time-bandwidth product) را دارد و در پردازش تصویر برای محو کردن (blur) استفاده می شود.

اصل عدم قطعیت (uncertainty principle): سیگنال گوسی به حد عدم قطعیت در پردازش سیگنال می رسد: حاصل ضرب پهنای مؤثر در زمان و پهنای مؤثر در فرکانس حداقل مقدار ممکن است. این یعنی گوسی بهترین تمرکز همزمان در زمان و فرکانس را دارد.

کاربرد در مخابرات: پالس های گوسی برای ارسال داده در مخابرات نوری و بی سیم استفاده می شوند، زیرا پهنای باند آنها محدودتر از پالس مستطیلی است و تداخل بین سمبلی (ISI) کمتری ایجاد می کنند.

سیگنال گوسی در فیزیک: بسته موج (wave packet) در مکانیک کوانتومی معمولا به صورت گوسی مدل می شود. پرتو لیزر در حالت پایه (Gaussian beam) توزیع شدت گوسی دارد.

سیگنال گوسی گسسته:

\[ x[n] = A e^{-\frac{(n-n_0)^2}{2\sigma^2}} \]

. در پردازش تصویر، از هسته های گوسی گسسته برای هموارسازی استفاده می شود.

پنجره گوسی (Gaussian window): در تحلیل طیف، از پنجره گوسی برای کاهش پدیده نشتی (leakage) استفاده می شود. این پنجره نسبت به پنجره مستطیلی، لوب های کناری (side lobes) کوچک تری دارد.

کاربرد در شبکه های عصبی: تابع پایه شعاعی گوسی (RBF) در شبکه های عصبی برای تقریب توابع استفاده می شود.

نویز گوسی: نویز گوسی (Gaussian noise) یک سیگنال تصادفی با توزیع نرمال است. این نویز در همه سیستم های الکترونیکی وجود دارد و مدل استاندارد برای نویز حرارتی است.

سیگنال گوسی و مشتقات آن: مشتقات سیگنال گوسی (مثل مشتق اول گوسی) در تشخیص لبه (edge detection) در تصاویر کاربرد دارند. فیلتر سوبل (Sobel) تقریبی از مشتق گوسی است.

مثال عملی: سیگنال ECG شامل موج هایی شبیه به گوسی (مثل موج QRS) است که می توان آنها را با ترکیبی از گوسی ها مدل کرد.

جمع بندی: سیگنال گوسی به دلیل خواص ریاضی منحصربه فرد (تبدیل فوریه گوسی، اصل عدم قطعیت، تمرکز انرژی) یکی از مهم ترین سیگنال ها در علم و مهندسی است.