سیگنال سینوسی میرا (Damped Sinusoidal Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال سینوسی میرا (Damped Sinusoidal Signal) :
تعریف: سیگنال سینوسی میرا (damped sinusoidal) یا نوسانی میرا، حاصل ضرب یک سیگنال سینوسی در یک پوش نمایی نزولی است. شکل کلی آن:
\[ x(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi) u(t) \]با
\[ \alpha > 0 \].
\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) u(t) \]پارامترها: A دامنه،
\[ \alpha \]ضریب میرایی،
\[ \omega \]فرکانس زاویه ای نوسان،
\[ \phi \]فاز.
\[ \omega_d = \omega \sqrt{1-\zeta^2} \]فرکانس طبیعی میرا (damped natural frequency) است.
منشأ فیزیکی: این سیگنال در سیستم های درجه دوم با میرایی زیربحرانی (underdamped) ظاهر می شود. مثال: مدار RLC سری، سیستم جرم-فنر-دمپر، پاندول با اصطکاک.
مدار RLC: در مدار RLC سری با شرایط اولیه غیرصفر، ولتاژ خازن یا جریان سلف به صورت سینوسی میرا است. معادله دیفرانسیل آن:
\[ \frac{d^2v}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dv}{dt} + \frac{1}{LC}v = 0 \].
پاسخ ضربه سیستم درجه دوم: پاسخ ضربه یک سیستم درجه دوم با میرایی زیربحرانی، یک سیگنال سینوسی میرا است. این پاسخ مشخصه های سیستم مانند فرکانس طبیعی و نسبت میرایی را نشان می دهد.
تبدیل لاپلاس: تبدیل لاپلاس
\[ e^{-\alpha t} \cos(\omega t) u(t) \]برابر
\[ \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2 + \omega^2} \]است. قطب های آن مختلط مزدوج و در
\[ s = -\alpha \pm j\omega \]قرار دارند.
تبدیل فوریه: طیف فرکانسی این سیگنال یک پیک در اطراف فرکانس
\[ \omega \]دارد که پهنای آن به
\[ \alpha \]بستگی دارد. هر چه
\[ \alpha \]کوچک تر باشد، پیک تیزتر است.
انرژی سیگنال: انرژی سیگنال سینوسی میرا محدود است و می توان آن را محاسبه کرد. برای
\[ \phi = 0 \]، انرژی برابر
\[ \frac{A^2}{4} \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \right) \]است.
کاربرد در شناسایی سیستم: با تحلیل سیگنال سینوسی میرا (مثل پاسخ ضربه یک سیستم)، می توان پارامترهای سیستم مانند فرکانس طبیعی و نسبت میرایی را تخمین زد.
مثال های عملی: صدای زنگ تلفن (پس از قطع زنگ)، صدای گیتار پس از زخمه زدن، نوسانات بدنه خودرو پس از دست انداز، سیگنال لرزه ای پس از یک زلزله کوچک.
سیگنال سینوسی میرا گسسته:
\[ x[n] = A r^n \cos(\omega_0 n + \phi) u[n] \]با
\[ 0 < r < 1 \].
\[ r \]نرخ میرایی گسسته است.
\[ x[n] = A (0.9)^n \cos(0.1\pi n) u[n] \]تبدیل Z: تبدیل Z این سیگنال دارای قطب های مختلط مزدوج در
\[ z = r e^{\pm j\omega_0} \]است. این قطب ها داخل دایره واحد قرار دارند (چون
\[ r < 1 \]).
کاربرد در پردازش گفتار: برخی از صداهای گفتاری (مانند واکه ها) را می توان با مدل های تولید گفتار که شامل تعدادی نوسان گر میرا هستند، مدل سازی کرد.
کاربرد در ژئوفیزیک: امواج لرزه ای پس از عبور از لایه های زمین، میرایی پیدا می کنند و به صورت سینوسی میرا مشاهده می شوند.
کیفیت Q (Quality factor): در سیستم های نوسانی، ضریب کیفیت Q نشان دهنده میزان میرایی است. Q بالا یعنی میرایی کم و نوسانات طولانی تر. رابطه
\[ Q = \frac{\omega_n}{2\alpha} \].
\[ Q = \frac{1}{2\zeta} = \frac{\omega_n}{2\alpha} \]تشخیص فرکانس و میرایی: از روی سیگنال سینوسی میرا، می توان فرکانس نوسان و نرخ میرایی را با روش هایی مانند تبدیل هیلبرت یا Prony's method استخراج کرد.
جمع بندی: سیگنال سینوسی میرا یک مدل ریاضی مهم برای توصیف سیستم های فیزیکی با اتلاف انرژی و نوسان است و در بسیاری از شاخه های علم و مهندسی کاربرد دارد.
