سیگنال نمایی میرایی (Damped Exponential Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال نمایی میرایی (Damped Exponential Signal) :

تعریف: سیگنال نمایی میرایی (damped exponential) یک سیگنال نمایی حقیقی با نرخ منفی است که به سمت صفر میل می کند. شکل کلی آن:

\[ x(t) = A e^{-\alpha t} u(t) \]

با

\[ \alpha > 0 \]

. گاهی به آن سیگنال نمایی نزولی (decaying exponential) نیز می گویند.

\[ x(t) = A e^{-t/\tau} u(t), \quad \tau = \frac{1}{\alpha} \]

نرخ میرایی: پارامتر

\[ \alpha \]

(آلفا) نرخ میرایی نامیده می شود. هر چه

\[ \alpha \]

بزرگ تر باشد، سیگنال سریع تر به صفر نزدیک می شود.

\[ \tau \]

ثابت زمانی است.

مثال های فیزیکی: دشارژ خازن در مدار RC:

\[ V(t) = V_0 e^{-t/RC} \]

. واپاشی رادیواکتیو:

\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

. سرد شدن یک جسم داغ در محیط:

\[ T(t) = T_{env} + (T_0 - T_{env}) e^{-kt} \]

.

انرژی سیگنال نمایی میرا: انرژی این سیگنال محدود و برابر

\[ \int_0^\infty |A e^{-\alpha t}|^2 dt = \frac{A^2}{2\alpha} \]

است. بنابراین یک سیگنال انرژی محسوب می شود.

تبدیل لاپلاس: تبدیل لاپلاس

\[ A e^{-\alpha t} u(t) \]

برابر

\[ \frac{A}{s + \alpha} \]

با منطقه همگرایی

\[ Re(s) > -\alpha \]

است. قطب آن در

\[ s = -\alpha \]

قرار دارد.

تبدیل فوریه: تبدیل فوریه آن

\[ \frac{A}{\alpha + j\omega} \]

است. دامنه این تابع به صورت

\[ \frac{A}{\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}} \]

با فرکانس کاهش می یابد.

\[ |X(\omega)| = \frac{A}{\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}}, \quad \angle X(\omega) = -\tan^{-1}(\frac{\omega}{\alpha}) \]

پاسخ ضربه فیلتر مرتبه اول: فیلتر پایین گذر مرتبه اول (مثل مدار RC) دارای پاسخ ضربه

\[ h(t) = \frac{1}{RC} e^{-t/RC} u(t) \]

است. این سیگنال یک نمایی میرا است.

کاربرد در مدل سازی: بسیاری از پدیده های گذرا با سیگنال نمایی میرا مدل می شوند. برای مثال، پاسخ یک سیستم به یک ضربه، یا نشت شارژ از یک خازن.

سیگنال نمایی میرایی گسسته: در حوزه گسسته،

\[ x[n] = A r^n u[n] \]

با

\[ 0 < r < 1 \]

یک نمایی میرا گسسته است.

\[ r \]

نرخ میرایی گسسته است.

\[ x[n] = A (0.9)^n u[n] \]

تبدیل Z: تبدیل Z این سیگنال برابر

\[ \frac{A}{1 - r z^{-1}} \]

با منطقه همگرایی

\[ |z| > r \]

است. قطب در

\[ z = r \]

دارد.

شبیه سازی: در شبیه سازی کامپیوتری، سیگنال نمایی میرا را می توان با یک حلقه بازگشتی ساده تولید کرد:

\[ x[n] = r x[n-1] \]

با شرط اولیه.

کاربرد در آمار: در مدل های سری زمانی مانند AR(1) (اتورگرسیو مرتبه اول)، از این سیگنال برای مدل سازی همبستگی زمانی استفاده می شود.

مثال در فیلتر دیجیتال: یک فیلتر IIR مرتبه اول با معادله تفاضلی

\[ y[n] = x[n] + a y[n-1] \]

(با

\[ |a| < 1 \]

) دارای پاسخ ضربه

\[ h[n] = a^n u[n] \]

است که یک نمایی میرا است.

نیمه عمر (half-life): در واپاشی رادیواکتیو، مدت زمانی که طول می کشد تا مقدار اولیه به نصف برسد، نیمه عمر نامیده می شود و با

\[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\alpha} \]

محاسبه می شود.

جمع بندی: سیگنال نمایی میرا یکی از اساسی ترین سیگنال های انرژی است که در فیزیک، مهندسی، اقتصاد و بسیاری زمینه ها کاربرد دارد.