سیگنال میرایی (Damped Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال میرایی (Damped Signal) :

تعریف: سیگنال میرایی (damped signal) به سیگنالی گفته می شود که دامنه آن با گذشت زمان کاهش می یابد و به سمت صفر میل می کند. این کاهش معمولا به صورت نمایی (exponential decay) است، اما می تواند اشکال دیگر نیز داشته باشد.

فرم عمومی: رایج ترین فرم سیگنال میرا، حاصل ضرب یک سیگنال نوسانی (یا هر سیگنال دیگر) در یک پوش نمایی نزولی است:

\[ x(t) = A e^{-\alpha t} y(t) \]

که در آن

\[ \alpha > 0 \]

ضریب میرایی است.

\[ x(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi) \quad \text{(نوسانی میرا)} \]

علت فیزیکی میرایی: میرایی معمولا ناشی از اتلاف انرژی در سیستم های فیزیکی است. در مکانیک، اصطکاک و مقاومت هوا باعث میرایی نوسانات می شوند. در الکترونیک، مقاومت الکتریکی باعث میرایی نوسانات در مدارهای LC و RLC می گردد.

ثابت زمانی میرایی: مقدار

\[ \tau = 1/\alpha \]

ثابت زمانی (time constant) نامیده می شود و نشان دهنده سرعت میرایی است. بعد از زمان

\[ \tau \]

، دامنه به

\[ 1/e \approx 37\% \]

مقدار اولیه کاهش می یابد.

سیگنال نمایی میرا: ساده ترین سیگنال میرا، سیگنال نمایی نزولی است:

\[ x(t) = A e^{-\alpha t} u(t) \]

. این سیگنال نوسان ندارد و به طور یکنواخت کاهش می یابد. مثال: دشارژ خازن از طریق مقاومت.

سیگنال نوسانی میرا:

\[ x(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi) u(t) \]

. این سیگنال هم نوسان می کند و هم دامنه آن کاهش می یابد. مثال: ولتاژ خروجی مدار RLC سری با شرایط اولیه.

انواع میرایی: در سیستم های درجه دوم، سه نوع میرایی داریم: ۱- میرایی فوق بحرانی (overdamped): سیستم بدون نوسان به حالت پایدار می رسد. ۲- میرایی بحرانی (critically damped): سریع ترین رسیدن به حالت پایدار بدون نوسان. ۳- میرایی زیربحرانی (underdamped): سیستم نوسان می کند و دامنه نوسان کاهش می یابد.

\[ \zeta > 1 \ \text{(overdamped)}, \quad \zeta = 1 \ \text{(critically damped)}, \quad 0 < \zeta < 1 \ \text{(underdamped)} \]

نسبت میرایی (damping ratio): پارامتر

\[ \zeta \]

(zeta) نشان دهنده میزان میرایی است. در مدار RLC سری،

\[ \zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \]

.

کاربرد در کنترل: در سیستم های کنترلی، مطلوب است که پاسخ سیستم میرا باشد و به سرعت به مقدار مطلوب برسد. مقدار بهینه

\[ \zeta \]

معمولا بین ۰.۴ تا ۰.۸ است تا هم سرعت کافی باشد و هم فراجهش (overshoot) زیاد نباشد.

تبدیل لاپلاس سیگنال میرا: تبدیل لاپلاس

\[ e^{-\alpha t} \cos(\omega t) u(t) \]

برابر

\[ \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2 + \omega^2} \]

است. قطب های آن در

\[ s = -\alpha \pm j\omega \]

قرار دارند.

تبدیل فوریه سیگنال میرا: تبدیل فوریه

\[ e^{-\alpha t} u(t) \]

برابر

\[ \frac{1}{\alpha + j\omega} \]

است که یک تابع لورنتزی است. برای سیگنال نوسانی میرا، تبدیل فوریه پیک هایی در اطراف فرکانس نوسان دارد.

مثال عملی: سیستم تعلیق خودرو: سیستم تعلیق خودرو طوری طراحی می شود که پس از عبور از دست انداز، نوسانات بدنه به سرعت میرا شوند (میرایی مناسب) تا راحتی سرنشینان تأمین شود.

مثال عملی: صدای زنگ: وقتی به یک زنگ فلزی ضربه می زنید، صدای حاصل یک سیگنال نوسانی میرا است. انرژی صوتی به تدریج در هوا و سازه زنگ تلف می شود.

مثال عملی: ECG: سیگنال الکتروکاردیوگرام (ECG) شامل بخش های میرا (مثل موج QRS) و نوسانی است.

سیگنال میرا در حوزه گسسته:

\[ x[n] = A r^n \cos(\omega_0 n + \phi) u[n] \]

با

\[ 0 < r < 1 \]

. در اینجا r نرخ میرایی گسسته است.

جمع بندی: سیگنال های میرایی در مدل سازی پدیده های فیزیکی با اتلاف انرژی و در تحلیل سیستم های پایدار کاربرد فراوان دارند.