سیگنال کسینوسی (Cosine Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال کسینوسی (Cosine Signal) :

تعریف: سیگنال کسینوسی (cosine) یک سیگنال سینوسی با فاز اولیه صفر (یا به طور کلی با فرم

\[ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) \]

) است. کسینوسی در واقع همان سینوس با شیفت فاز

\[ 90^\circ \]

(

\[ \pi/2 \]

رادیان) است.

\[ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) \]

رابطه با سینوس:

\[ \cos(\omega t) = \sin(\omega t + \pi/2) \]

و

\[ \sin(\omega t) = \cos(\omega t - \pi/2) \]

. بنابراین این دو تنها در فاز با هم تفاوت دارند.

ویژگی زوج بودن: تابع کسینوس یک تابع زوج است:

\[ \cos(-\theta) = \cos(\theta) \]

. این ویژگی در تحلیل فوریه و تقارن ها مفید است.

سری فوریه کسینوسی: اگر یک سیگنال زوج باشد، سری فوریه آن فقط شامل جملات کسینوسی (و جمله ثابت) خواهد بود. به همین دلیل، در بسیاری از کاربردها ترجیح می دهیم از نمایش کسینوسی استفاده کنیم.

تبدیل فوریه کسینوسی: تبدیل فوریه

\[ A \cos(\omega_0 t) \]

برابر است با

\[ \frac{A}{2} [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] \]

. یعنی دو ضربه متقارن حول مبدأ.

کاربرد در مدولاسیون AM: در مدولاسیون دامنه (AM)، سیگنال پیام در یک موج کسینوسی (حامل) ضرب می شود:

\[ x_{AM}(t) = [A + m(t)] \cos(\omega_c t) \]

.

نمایش فازور: یک سیگنال کسینوسی

\[ A \cos(\omega t + \phi) \]

را می توان با یک فازور (بردار چرخان) به طول A و زاویه

\[ \phi \]

نمایش داد. این نمایش تحلیل مدارهای AC را بسیار ساده می کند.

مقدار مؤثر (RMS): مقدار مؤثر یک سیگنال کسینوسی با دامنه A برابر

\[ A/\sqrt{2} \]

است. ولتاژ برق شهر ۲۲۰ ولت، مقدار مؤثر است، نه دامنه.

\[ V_{rms} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}} \]

سیگنال کسینوسی در پردازش تصویر: در پردازش تصویر، از توابع کسینوسی برای تبدیل کسینوسی گسسته (DCT) استفاده می شود که پایه فشرده سازی JPEG است. DCT شبیه DFT است اما از کسینوس های حقیقی استفاده می کند.

تبدیل کسینوسی گسسته (DCT): این تبدیل به جای نمایی مختلط از کسینوس استفاده می کند و برای سیگنال های حقیقی بسیار کارآمد است. فرمول یک بعدی آن:

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos\left[\frac{\pi}{N} (n+\frac{1}{2}) k\right] \]

سیگنال کسینوسی گسسته:

\[ x[n] = \cos(\omega_0 n + \phi) \]

. دوره ای بودن آن به گویا بودن

\[ \frac{\omega_0}{2\pi} \]

بستگی دارد.

کاربرد در مخابرات: در مدولاسیون QPSK، از دو موج کسینوسی و سینوسی با فازهای ۹۰ درجه استفاده می شود (حامل های تربیعی). این امکان ارسال دو برابر داده را فراهم می کند.

مشتق کسینوسی: مشتق

\[ \cos(\omega t) \]

برابر

\[ -\omega \sin(\omega t) \]

است. این رابطه در تحلیل مدارهای الکتریکی (رابطه ولتاژ و جریان خازن و سلف) کاربرد دارد.

انتگرال کسینوسی: انتگرال

\[ \cos(\omega t) \]

برابر

\[ \frac{1}{\omega} \sin(\omega t) \]

است.

همبستگی و متعامد بودن: توابع کسینوسی با فرکانس های مختلف بر بازه یک دوره متعامد هستند:

\[ \int_0^T \cos(m\omega_0 t) \cos(n\omega_0 t) dt = 0 \]

برای

\[ m \neq n \]

.

جمع بندی: سیگنال کسینوسی همراه با سینوس، پایه های تحلیل فوریه را تشکیل می دهند و در بسیاری از شاخه های مهندسی کاربرد دارند.