سیگنال سینوسی (Sinusoidal Signal)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :

سیگنال سینوسی (Sinusoidal Signal) :

تعریف: سیگنال سینوسی (sinusoidal) یک سیگنال دوره ای است که بر اساس تابع سینوس یا کسینوس توصیف می شود. شکل کلی آن:

\[ x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi) \]

یا

\[ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) \]

.

\[ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi) \]

پارامترها: A دامنه (amplitude) است،

\[ \omega_0 \]

فرکانس زاویه ای (بر حسب رادیان بر ثانیه)،

\[ \phi \]

فاز (phase) بر حسب رادیان. فرکانس بر حسب هرتز:

\[ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \]

. دوره تناوب:

\[ T_0 = \frac{1}{f_0} = \frac{2\pi}{\omega_0} \]

.

اهمیت در ریاضیات: توابع سینوسی و کسینوسی پایه های اصلی سری فوریه و تبدیل فوریه هستند. هر سیگنال دوره ای را می توان به صورت ترکیبی از سیگنال های سینوسی با فرکانس های هارمونیک نوشت.

سیگنال سینوسی در طبیعت: بسیاری از پدیده های طبیعی نوسانی مانند امواج صوتی خالص (تک فرکانس)، امواج رادیویی، نوسانات آونگ ساده (با زاویه کوچک)، و جزر و مد (تقریبا) با سیگنال سینوسی مدل می شوند.

تولید سیگنال سینوسی: در الکترونیک، نوسان سازهای مختلفی مانند نوسان ساز وین بریج (Wien bridge) یا کریستال کوارتز برای تولید امواج سینوسی با فرکانس دقیق استفاده می شوند.

سیگنال سینوسی در برق: ولتاژ برق شهر در بسیاری از کشورها یک موج سینوسی با فرکانس ۵۰ یا ۶۰ هرتز است. ژنراتورهای نیروگاه ها مستقیما ولتاژ سینوسی تولید می کنند.

توان سیگنال سینوسی: توان متوسط یک سیگنال سینوسی با دامنه A برابر

\[ P = \frac{A^2}{2} \]

است. مقدار مؤثر (RMS) آن

\[ A/\sqrt{2} \]

است.

\[ P = \frac{1}{T} \int_0^T |A \sin(\omega t)|^2 dt = \frac{A^2}{2} \]

جمع و تفریق سینوسی ها: حاصل جمع دو سیگنال سینوسی با فرکانس های نزدیک به هم، پدیده ضربان (beat) ایجاد می کند که در کوک کردن سازها کاربرد دارد.

سری فوریه: هر سیگنال دوره ای (با شرایط دیریشله) را می توان به صورت مجموع بی نهایت سینوسی و کسینوسی با فرکانس های مضرب فرکانس اصلی نوشت:

\[ x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] \]

تبدیل فوریه: تبدیل فوریه یک سیگنال سینوسی خالص (که برای همیشه ادامه دارد) دو ضربه در فرکانس های

\[ \pm f_0 \]

است:

\[ \mathcal{F}\{\cos(2\pi f_0 t)\} = \frac{1}{2} [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] \]

.

سیگنال سینوسی گسسته:

\[ x[n] = \cos(\omega_0 n + \phi) \]

. این سیگنال فقط در صورتی دوره ای است که

\[ \frac{\omega_0}{2\pi} \]

یک عدد گویا باشد.

کاربرد در پردازش گفتار: واکه ها (حروف صدادار) در گفتار انسان تقریبا به صورت مجموع چند سیگنال سینوسی (فرمنت ها) قابل مدل سازی هستند.

سیگنال سینوسی و فاز: فاز

\[ \phi \]

تعیین کننده مقدار سیگنال در زمان صفر است. دو سیگنال سینوسی با فرکانس یکسان و فازهای مختلف، با هم اختلاف فاز دارند.

مثال عملی: صدای یک دیاپازون (چنگال کوک) بسیار نزدیک به یک موج سینوسی خالص است. به همین دلیل از آن برای کوک کردن سازها استفاده می شود.

جمع بندی: سیگنال سینوسی اساسی ترین سیگنال دوره ای است و نقش بی بدیلی در علم و مهندسی دارد.