سیگنال نمایی مختلط (Complex Exponential Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال نمایی مختلط (Complex Exponential Signal) :
تعریف: سیگنال نمایی مختلط (complex exponential) به سیگنالی گفته می شود که در آن توان
\[ s \]یک عدد مختلط است. شکل کلی آن در زمان پیوسته:
\[ x(t) = A e^{st} = A e^{(\sigma + j\omega)t} = A e^{\sigma t} e^{j\omega t} \].
\[ x(t) = A e^{\sigma t} [\cos(\omega t) + j \sin(\omega t)] \]اهمیت بنیادی: سیگنال های نمایی مختلط توابع ویژه سیستم های LTI هستند. یعنی اگر ورودی یک سیستم LTI یک نمایی مختلط باشد، خروجی نیز همان نمایی مختلط با همان فرکانس است، فقط دامنه و فاز آن تغییر می کند.
سه حالت اصلی: بسته به
\[ \sigma \](قسمت حقیقی s): اگر
\[ \sigma = 0 \]باشد، سیگنال سینوسی با دامنه ثابت (نوسان پایدار). اگر
\[ \sigma < 0 \]باشد، سیگنال نوسانی میرا. اگر
\[ \sigma > 0 \]باشد، سیگنال نوسانی با رشد دامنه.
سیگنال نمایی مختلط با دامنه ثابت:
\[ x(t) = A e^{j\omega t} = A (\cos \omega t + j \sin \omega t) \]. این سیگنال در تحلیل فوریه نقش اساسی دارد. دامنه آن ثابت و فاز آن خطی است.
ارتباط با توابع سینوسی: توابع سینوسی و کسینوسی را می توان بر حسب نمایی مختلط نوشت:
\[ \cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}, \quad \sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} \]تبدیل فوریه: تبدیل فوریه
\[ e^{j\omega_0 t} \]یک ضربه در فرکانس
\[ \omega = \omega_0 \]است:
\[ \mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}\} = 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \]. این خاصیت نشان می دهد که سیگنال نمایی مختلط کاملا در یک فرکانس متمرکز است.
کاربرد در مدولاسیون: در مخابرات، برای جابجایی فرکانس سیگنال پایه، آن را در یک نمایی مختلط (
\[ e^{j\omega_c t} \]) ضرب می کنیم. این عمل همان مدولاسیون است.
نمایش فازور (phasor): در مهندسی برق، سیگنال های سینوسی حالت ماندگار را با فازورها نمایش می دهند که در واقع همان نمایی های مختلط با حذف عبارت
\[ e^{j\omega t} \]هستند.
سیگنال نمایی مختلط گسسته: در زمان گسسته،
\[ x[n] = A e^{j\omega_0 n} \]. برخلاف زمان پیوسته، این سیگنال فقط در صورتی دوره ای است که
\[ \frac{\omega_0}{2\pi} \]یک عدد گویا باشد.
\[ e^{j\omega_0 n} = \cos(\omega_0 n) + j \sin(\omega_0 n) \]تبدیل Z: تبدیل Z سیگنال
\[ e^{j\omega_0 n} u[n] \]برابر
\[ \frac{1}{1 - e^{j\omega_0} z^{-1}} \]با ROC
\[ |z| > 1 \]است.
کاربرد در DFT: تبدیل فوریه گسسته (DFT) بر اساس ضرب سیگنال در نمایی های مختلط گسسته و جمع زنی تعریف می شود. پایه های DFT عبارتند از
\[ W_N^{kn} = e^{-j\frac{2\pi}{N} kn} \].
نمایش سیگنال های حقیقی: سیگنال های حقیقی را می توان به صورت مجموع دو نمایی مختلط مزدوج نمایش داد. این نمایش در تحلیل فرکانسی بسیار مفید است.
پاسخ فرکانسی: پاسخ فرکانسی سیستم های LTI از طریق اعمال ورودی
\[ e^{j\omega t} \]و مشاهده خروجی به دست می آید. خروجی برابر
\[ H(\omega) e^{j\omega t} \]است که
\[ H(\omega) \]پاسخ فرکانسی نام دارد.
ارتباط با تبدیل لاپلاس: اگر s مختلط باشد،
\[ e^{st} \]در حوزه لاپلاس با قطب های مختلط ظاهر می شود. قطب های مختلط مزدوج منجر به پاسخ های نوسانی میرا می شوند.
جمع بندی: سیگنال نمایی مختلط سنگ بنای تحلیل فوریه، طراحی فیلتر و مخابرات مدرن است. درک عمیق آن برای هر مهندس برق و کامپیوتر ضروری است.
