سیگنال نمایی حقیقی (Real Exponential Signal)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع سیگنال ها (Signal) را در آموزش زیر شرح دادیم :
سیگنال نمایی حقیقی (Real Exponential Signal) :
تعریف: سیگنال نمایی حقیقی (real exponential) حالت خاصی از سیگنال نمایی است که در آن توان
\[ s \]یک عدد حقیقی است. یعنی
\[ x(t) = A e^{\alpha t} \]که
\[ A \]و
\[ \alpha \]اعداد حقیقی هستند.
\[ x(t) = A e^{\alpha t}, \quad \alpha \in \mathbb{R} \]دو حالت اصلی: اگر
\[ \alpha > 0 \]باشد، سیگنال با زمان رشد می کند (نمایی افزایشی). اگر
\[ \alpha < 0 \]باشد، سیگنال با زمان کاهش می یابد و به صفر میل می کند (نمایی کاهشی یا میرا). اگر
\[ \alpha = 0 \]باشد، سیگنال ثابت است.
سیگنال نمایی افزایشی:
\[ x(t) = A e^{\alpha t} \]با
\[ \alpha > 0 \]. این سیگنال با گذشت زمان به سرعت بزرگ می شود و به بینهایت میل می کند. در طبیعت، چنین پدیده هایی فقط در بازه های زمانی محدود رخ می دهند (مثل رشد جمعیت در محیط نامحدود).
سیگنال نمایی کاهشی (میرا):
\[ x(t) = A e^{-\alpha t} \]با
\[ \alpha > 0 \]. این سیگنال بسیار رایج است و در پدیده های واپاشی (مثل دشارژ خازن، واپاشی رادیواکتیو) دیده می شود.
\[ x(t) = A e^{-t/\tau} u(t) \]که در آن
\[ \tau = 1/\alpha \]ثابت زمانی (time constant) نامیده می شود.
ثابت زمانی: ثابت زمانی
\[ \tau \]نشان دهنده سرعت واپاشی است. بعد از زمان
\[ \tau \]، مقدار سیگنال به
\[ 1/e \approx 0.37 \]مقدار اولیه می رسد. بعد از
\[ 5\tau \]، سیگنال به کمتر از ۱٪ مقدار اولیه می رسد و عملا صفر در نظر گرفته می شود.
مثال در مدار RC: در مدار RC، ولتاژ خازن در هنگام دشارژ به صورت
\[ V(t) = V_0 e^{-t/RC} \]کاهش می یابد. در اینجا
\[ \tau = RC \]ثابت زمانی مدار است.
واپاشی رادیواکتیو: تعداد اتم های باقیمانده در یک ماده رادیواکتیو به صورت
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]کاهش می یابد.
\[ \lambda \]ثابت واپاشی و
\[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \]نیمه عمر است.
سیگنال نمایی حقیقی گسسته: در زمان گسسته، سیگنال نمایی حقیقی به صورت
\[ x[n] = A r^n \]است. اگر
\[ 0 < r < 1 \]، سیگنال کاهشی است. اگر
\[ r > 1 \]، سیگنال افزایشی است. اگر
\[ -1 < r < 0 \]، سیگنال نوسانی میرا است. اگر
\[ r < -1 \]، سیگنال نوسانی با دامنه افزایشی است.
\[ x[n] = A (0.5)^n u[n] \quad \text{(نمایی کاهشی)} \]پایداری: سیگنال نمایی کاهشی (با
\[ \alpha < 0 \]) یک سیگنال انرژی محدود است (انتگرال مربع آن همگرا است). سیگنال نمایی افزایشی انرژی نامحدود دارد و در سیستم های عملی غیرقابل استفاده است مگر در بازه محدود.
تبدیل لاپلاس: تبدیل لاپلاس سیگنال
\[ e^{-\alpha t} u(t) \]با
\[ \alpha > 0 \]برابر
\[ \frac{1}{s + \alpha} \]با منطقه همگرایی
\[ Re(s) > -\alpha \]است.
تبدیل فوریه: تبدیل فوریه سیگنال
\[ e^{-\alpha t} u(t) \]برابر
\[ \frac{1}{\alpha + j\omega} \]است. دامنه این تبدیل یک تابع لورنتزی (Lorentzian) است که در
\[ \omega = 0 \]ماکزیمم است و با افزایش فرکانس کاهش می یابد.
کاربرد در فیلترها: پاسخ ضربه بسیاری از فیلترهای مرتبه اول (مثل فیلتر RC) یک سیگنال نمایی کاهشی است. به همین دلیل، این فیلترها در حوزه فرکانس رفتار پایین گذر دارند.
مثال عملی: دمای یک فنجان قهوه داغ که در محیط سرد قرار می گیرد، به صورت نمایی به دمای محیط نزدیک می شود (قانون سردشدن نیوتن).
\[ T(t) = T_{\text{محیط}} + (T_0 - T_{\text{محیط}}) e^{-kt} \]سیگنال نمایی حقیقی در اقتصاد: ارزش یک سرمایه با نرخ بهره پیوسته
\[ r \]به صورت
\[ A(t) = A_0 e^{rt} \]رشد می کند. اگر نرخ بهره منفی باشد (که نادر است)، کاهش نمایی خواهیم داشت.
جمع بندی: سیگنال نمایی حقیقی (به ویژه حالت کاهشی) یکی از پرکاربردترین سیگنال ها در مدل سازی پدیده های فیزیکی، زیستی و اقتصادی است. درک ثابت زمانی و رفتار آن برای تحلیل سیستم های مرتبه اول ضروری است.
